আদর্শ গ্যাস (Ideal Gas):

যে গ্যাস সকল তাপমাত্রা ও চাপে গ্যাসের সূত্রগুলো (বয়েলের সূত্র, চার্লসের সূত্র, অ্যাভোগাড্রোর সূত্র ইত্যাদি) কঠোরভাবে মেনে চলে, তাকে আদর্শ গ্যাস বলে। বাস্তবে কোনো গ্যাসই সম্পূর্ণরূপে আদর্শ গ্যাসের মতো আচরণ করে না। উচ্চ তাপমাত্রা ও নিম্ন চাপে বাস্তব গ্যাসগুলো আদর্শ গ্যাসের কাছাকাছি আচরণ করে।

একটি আদর্শ গ্যাসের জন্য গড় মুক্ত পথের (Mean Free Path) রাশিমালা প্রতিপাদন:

কোনো গ্যাস অণু পরপর দুটি সংঘর্ষের মধ্যবর্তী সময়ে যে গড় দূরত্ব অতিক্রম করে, তাকে গড় মুক্ত পথ (Mean Free Path) বলে। এটি গ্যাসের অণুগুলোর গতিশীলতা এবং একে অপরের সাথে সংঘর্ষের প্রবণতার একটি পরিমাপ।

ধরা যাক,

    
• গ্যাসের অণুর সংখ্যা ঘনত্ব (Number density) = \(n\) (অর্থাৎ, প্রতি একক আয়তনে অণুর সংখ্যা)
    
• গ্যাস অণুর ব্যাস = \(d\)
    
• গ্যাস অণুর গড় দ্রুতি (Average speed) = \(\bar{v}\)

১. সংঘর্ষ ক্ষেত্রফল (Collision Cross-section):

যদি একটি গ্যাস অণুকে \(d\) ব্যাসের একটি গোলক হিসেবে বিবেচনা করা হয়, তবে অন্য একটি অণু এর সাথে তখনই সংঘর্ষ ঘটাবে যখন দ্বিতীয় অণুটির কেন্দ্র প্রথম অণুটির কেন্দ্র থেকে \(d\) দূরত্বের মধ্যে আসবে। এর অর্থ, একটি অণু যখন চলে, তখন এটি \(\pi d^2\) ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি কাল্পনিক গোলীয় ক্ষেত্রফল (collision cross-section) অতিক্রম করে।

২. অতিক্রান্ত আয়তন (Volume Swept):

ধরা যাক, একটি নির্দিষ্ট অণু \(\Delta t\) সময়ে \(\bar{v}\) গড় দ্রুতিতে সরলরেখায় চলছে। এই সময়ে অণুটির অতিক্রান্ত দূরত্ব \(L = \bar{v} \Delta t\)। যদি অণুটির কার্যকর সংঘর্ষ ক্ষেত্রফল \(\sigma = \pi d^2\) হয়, তবে \(\Delta t\) সময়ে অণুটি যে আয়তন (Volume) অতিক্রম করে, তা হলো:

\[ V_{swept} = \text{ক্ষেত্রফল} \times \text{দূরত্ব} = \sigma L = \pi d^2 \bar{v} \Delta t \]

৩. সংঘর্ষের সংখ্যা (Number of Collisions):

এই \(\pi d^2 \bar{v} \Delta t\) আয়তনের মধ্যে যতগুলো অণু থাকবে, সেগুলোর সাথেই চলন্ত অণুটি সংঘর্ষ ঘটাবে (প্রাথমিকভাবে ধরা হয় অন্যান্য অণু স্থির)। যেহেতু প্রতি একক আয়তনে অণুর সংখ্যা \(n\), তাই \(\Delta t\) সময়ে সংঘর্ষের সংখ্যা হবে:

\[ N_{coll} = n \times V_{swept} = n \pi d^2 \bar{v} \Delta t \]

৪. গড় মুক্ত পথ (প্রাথমিক রাশিমালা):

গড় মুক্ত পথ হলো মোট অতিক্রান্ত দূরত্বকে সংঘর্ষের সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যা পাওয়া যায়:

\[ \lambda = \frac{\text{অতিক্রান্ত দূরত্ব}}{\text{সংঘর্ষের সংখ্যা}} = \frac{\bar{v} \Delta t}{n \pi d^2 \bar{v} \Delta t} \]

\[ \lambda = \frac{1}{n \pi d^2} \]

৫. সকল অণুর গতির জন্য সংশোধন (Correction for Molecular Motion):

উপরের প্রতিপাদনে ধরা হয়েছিল যে কেবল একটি অণু গতিশীল এবং অন্যান্য অণু স্থির। কিন্তু বাস্তবে সকল অণুই গতিশীল থাকে। এই কারণে, সংঘর্ষের হার গণনা করার জন্য আপেক্ষিক বেগ (relative velocity) ব্যবহার করা উচিত। ম্যাক্সওয়েলের গতিসূত্র অনুসারে, যখন সকল অণু গতিশীল থাকে, তখন গড় আপেক্ষিক বেগ স্থির অণুগুলির ক্ষেত্রে গড় বেগের \(\sqrt{2}\) গুণ হয়। অর্থাৎ, \(\bar{v}_{rel} = \sqrt{2} \bar{v}\)। এই সংশোধনের পর গড় মুক্ত পথের রাশিমালাটি দাঁড়ায়:

\[ \lambda = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^2} \]

৬. চাপ ও তাপমাত্রার সাপেক্ষে রাশিমালা:

আদর্শ গ্যাসের সমীকরণ থেকে আমরা জানি, \(PV = NkT\), যেখানে \(P\) চাপ, \(V\) আয়তন, \(N\) অণুর সংখ্যা, \(k\) বোল্টজম্যান ধ্রুবক (Boltzmann constant) এবং \(T\) কেলভিন তাপমাত্রা।

এখান থেকে, অণুর সংখ্যা ঘনত্ব \(n = \frac{N}{V} = \frac{P}{kT}\)।

\(n\) এর এই মানটি গড় মুক্ত পথের রাশিমালার (সংশোধিত) মধ্যে বসিয়ে পাই:

\[ \lambda = \frac{1}{\sqrt{2} (\frac{P}{kT}) \pi d^2} \]

\[ \lambda = \frac{kT}{\sqrt{2} \pi d^2 P} \]

এই রাশিমালাটি একটি আদর্শ গ্যাসের জন্য গড় মুক্ত পথের চূড়ান্ত সমীকরণ। এটি থেকে দেখা যায় যে, গড় মুক্ত পথ গ্যাসের তাপমাত্রা (\(T\)) বৃদ্ধির সাথে বৃদ্ধি পায় এবং চাপ (\(P\)) ও অণুর ব্যাস (\(d\)) বৃদ্ধির সাথে হ্রাস পায়।