Solve the following mathematical problems:

Created: 3 years ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

141

(a)

A teacher has 3 hours to grade all the papers submitted by the 35 students in her class. She gets through the first 5 papers in 30 minutes. How much faster does she have to work to grade the remaining papers in the allotted time?

উত্তরঃ

প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, একজন শিক্ষককে 35 খাতার দেখার জন্য 3 ঘণ্টা সময় দেয়া হলো। প্রথম 30 মিনিটে সে 5 টি খাতা দেখল ৷ প্রদত্ত সময়ে শেষ করতে হলে বাকি খাতাগুলো কি হারে দেখতে হবে?

Given, total allotted time = 3 hours

$= 3 \times 60 = 180 m i n u t e s$

∴ Remaining time = 180-30 = 150 minutes

∴ Remaining papers = 35 - 5 = 30 minutes

Per hour speed of grading first 5 papers $= \frac{60 \times 5}{30}$ = 10 papers

& to complete the work in time, required per hour speed of grading 30 papers $= \frac{30 \times 60}{150}$ = 12 papers

So, she should enhance the work speed by $= \frac{12 - 10}{10} \times 100 = 20 %$

Najjar Hossain Raju

2 years ago

(b)

A two digit number is four times the sum of the two digits. If the digits are reversed, the number so obtained is 18 more than the original number. What is the original number?

উত্তরঃ

প্রশ্নে বলা হচ্ছে, দুই অঙ্ক বিশিষ্ট কোন সংখ্যা তার অঙ্ক দুটির যোগফলের 4 গুণ। অঙ্ক দুটিকে স্থান পরিবর্তন করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা মূল সংখ্যার চেয়ে 18 বেশি। মূল সংখ্যাটি কত?

Let, Tenth digit is x and unit digit is y

∴ The number = (10x + y)

According to first condition, $4 (x + y) = 10 x + y . . . . . . . . . . . . (i)$

And second condition, $(10 x + y) + 18 = 10 y + x . . . . . . . . . . . . . (i i)$

From equation (ii), $10 x + y + 18 = 10 y + x$

$\Rightarrow 9 x - 9 y = - 18 \Rightarrow 9 y - 9 x = 18 [M u l t i p l y i n g b y - 1] \Rightarrow 9 (y - x) = 18 \Rightarrow (y - x) = \frac{18}{9} = 2 \Rightarrow y - x = 2 ∴ y = x + 2 . . . . . . . . . (i i i)$

From equation (i), we get $4 (x + y) = 10 x + y$

$\Rightarrow 4 x + 4 y = 10 x + y \Rightarrow 3 y = 6 x \Rightarrow y = 2 x \Rightarrow x + 2 = 2 x [P u t t i n g t h e v a l u e o f y] ∴ x = 2$

Now, putting the value of x in equation (iii) we get

$y = x + 2 \Rightarrow y = 2 + 2 = 4 ∴ y = 4 T h e n u m b e r i s (10 x + y) = (10 \times 2) + 4 = 20 + 4 = 24 . a n s .$

Najjar Hossain Raju

2 years ago

(c)

Solve:

x^{2} - x y = 7, y^{2} + x y = 30

উত্তরঃ

$G i v e n, x^{2} - y x = 7 . . . . . . . . . . . . . . (i) \Rightarrow x y = x^{2} - 7 \Rightarrow y = \frac{x^{2} - 7}{x} \Rightarrow y = x - \frac{7}{x} . . . . . . . . . (i i)$

Another equation is $y^{2} + x y = 30 . . . . . . . . . . (i i i)$

Adding equation (i) and (iii) we get

$\frac{x^{2} - x y = 7 y^{2} + x y = 30}{x^{2} + y^{2} = 37 . . . . . (i v)}$

Now, putting the value of y in equation (iv) we get

$x^{2} + {(x - \frac{7}{x})}^{2} = 37 \Rightarrow x^{2} + x^{2} - 2 \times x \times \frac{7}{x} + {(\frac{7}{x})}^{2} = 37 \Rightarrow 2 x^{2} - 14 + \frac{49}{x^{2}} = 37 \Rightarrow 2 x^{2} + \frac{49}{x^{2}} = 51 \Rightarrow \frac{2 x^{4} + 49}{x^{2}} = 51 \Rightarrow 2 x^{4} - 51 x^{2} + 49 = 0 \Rightarrow 2 x^{4} - 2 x^{2} - 49 x^{2} + 49 = 0 \Rightarrow 2 x^{2} (x^{2} - 1) - 49 (x^{2} - 1) = 0 \Rightarrow (x^{2} - 1) (2 x^{2} - 49) = 0 H e r e, x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \sqrt{1} ∴ x = 1 A n d, 2 x^{2} - 49 = 0 \Rightarrow x^{2} = \frac{49}{2} ∴ x = \sqrt{\frac{49}{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} T h u s w e g e t z = 1, \frac{7}{\sqrt{2}} W h e n x = 1, t h e n y = 1 - \frac{7}{1} = 1 - 7 = - 6 A n d w h e n x = \frac{7}{\sqrt{2}}, t h e n y = \frac{7}{\sqrt{2}} - \frac{7}{7} = \frac{7}{\sqrt{2}} - \frac{7}{1} \times \frac{\sqrt{2}}{7} = \frac{7}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} = \frac{7 - {(\sqrt{2})}^{2}}{\sqrt{2}} = \frac{7 - 2}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} ∴ (x, y) = (1, - 6) o r (\frac{7}{\sqrt{2}}, \frac{5}{\sqrt{2}}) a n s .$

Najjar Hossain Raju

2 years ago

(d)

Someone plans to invest x taka in the bond of 'M' company, which pays 10% interest and y taka in 'N' company bonds, which pay 9% interest. He will invest 9,000 taka require that he receives 850 taka as interest. How much should be invest in each company?

উত্তরঃ

প্রশ্নে বলা হচ্ছে, এক লোক ‘M’ কোম্পানিতে 10% সুদে টাকা এবং 'N' কোম্পানিতে 9% সুদে টাকা বিনিয়োগ y করে। সে মোট 9,000 টাকা দুই কোম্পানিতে বিনিয়োগ করে 850 টাকা সুদ হিসেবে নিতে চায়। কোন কোম্পানিতে কত টাকা বিনিয়োগ করবে?

Let, He invested Tk. x in company 'M' at 10%

∴ In 'N' Company, he invested Tk. (9,000-x) at 9%

We know, $I = \frac{P \times r \times n}{100}$

∴ The amount of interest at 10% of Tk. x $= \frac{x \times 10 \times 1}{100} = \frac{x}{10} T k .$

And the amount of interest at 9% of Tk. (9,000 - x) $= \frac{(9000 - x) \times 9 \times 1}{100} = \frac{9 (9000 - x)}{100} T k .$

According to question $\frac{x}{10} + \frac{9 (9000 - x)}{100} = 850$

$\Rightarrow \frac{10 x + 81000 - 9 x}{100} = 850 \Rightarrow x + 81, 000 = = 85000 \Rightarrow x = 85, 000 - 81, 000 ∴ x = 4, 000$

He will invest 4,000 Tk. in company 'M' and (9,000 - 4,000) = 5,000 Tk. in company 'N'. ans.

Najjar Hossain Raju

2 years ago

(e)

A committee of 5 persons is to be formed form 6 male and 5 female members. In how many this committee can be formed so that there is at least 1 male and 1 female member in the committee?

উত্তরঃ

Najjar Hossain Raju

2 years ago

(f)

A circle is inscribed inside a right angled triangle with equal sides. What is the area of the circle if the length of one side of the right angled triangle is 4cm?

উত্তরঃ

প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে একটি বৃত্ত অন্তর্লিখিত আছে। ত্রিভুজটির একবাহুর দৈর্ঘ্য (সমান সমান বাহুর একটি) 4cm হলে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

Depict the following figure according to question

Area of ABC triangle $= \frac{1}{2} \times b a s e \times h e i g h t$

$= \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 c m^{2}$

Now, $A C^{2} = {(A B)}^{2} + {(B C)}^{2} = 4^{2} + 4^{2} = 16 + 16 = 32$

$∴ A C = \sqrt{32}$

The radius of a circle inscribed in a triangle $= \frac{2 \times A r e a o f t r i a n g l e}{P e r i m e t e r o f t r i a n g l e} = \frac{2 \times 8}{(4 + 4) + \sqrt{32}} = \frac{16}{8 + (\sqrt{2 \times 4^{2}})}$

$= \frac{16}{8 + 4 \sqrt{2}} = \frac{16}{4 (2 + \sqrt{2})} = \frac{4}{2 + \sqrt{2}} = \frac{2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} (\sqrt{2} + 1)} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2 \sqrt{2} (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{2 \sqrt{2} (\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = 2 \sqrt{2} (\sqrt{2} - 1) ∴ R a d i u s = 2 \sqrt{2} (\sqrt{2} - 1) c m ∴ A r e a o f c i r c l e = {πR}^{2} = π {\{2 \sqrt{2} (\sqrt{2} - 1)\}}^{2} = π 4 \times 2 {(\sqrt{2} - 1)}^{2} {cm}^{2} = 8 π 2 \sqrt{2} {(\sqrt{2} - 1)}^{2} {cm}^{2} (ans .)$

Najjar Hossain Raju

2 years ago

(g)

The length of a tangent drawn from a point A is 12cm which is 13cm away from the centre of the circle. Find the diameter of the circle.

উত্তরঃ

প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, বৃত্তের বহিঃস্থ একটি বিন্দু A হতে বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দূরত্ব 12cm এবং কেন্দ্র থেকে A বিন্দুর দূরত্ব 13cm হলে বৃত্তটির ব্যাস কত?

We depict the following figure according to question.

Here, OB is perpendicular on base AB.

So, clearly AO is hypotenuse

Now, applying Pythagorean law, we get

$O A^{2} = O B^{2} + A B^{2}$

$\Rightarrow O B^{2} = O A^{2} - A B^{2} = 13^{2} - 12^{2} = 169 - 144 = 25 ∴ O B = \sqrt{25} = \sqrt{5^{2}} = 5 ∴ O B = 5 c m$

Here, OB is radius of the circle and we know that the diameter of a circle is twice of the radius.

$∴ D i a m e t e r = 5 \times 2 = 10 c m . (a n s .)$

Najjar Hossain Raju

2 years ago

141

MCQ: 33 CQ: 15

Practice

সরল-সহসমীকরণ (Simultaneous linear equations)

দুই বা ততোধিক চলকবিশিষ্ট এমন একাধিক সরল সমীকরণ, যেগুলো একসাথে সত্য হয়, তাদেরকে সরল-সহসমীকরণ বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

সহসমীকরণে একই চলকের মান একাধিক সমীকরণে একই থাকে এবং সেই মান নির্ণয় করাই মূল উদ্দেশ্য।

দুই চলকবিশিষ্ট সরল-সহসমীকরণের সাধারণ রূপ

$a x + b y = c$

এবং

$p x + q y = r$

সমাধানের পদ্ধতি

বিয়োজন পদ্ধতি (Elimination Method)
প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Substitution Method)
ক্রস গুণন পদ্ধতি (Cross Multiplication Method)

বিয়োজন পদ্ধতির উদাহরণ

নিচের সহসমীকরণ দুটি সমাধান করি:

$2 x + y = 7$

এবং

$x - y = 2$

দুই সমীকরণ যোগ করলে পাই:

$3 x = 9$

অতএব,

$x = 3$

এখন x = 3 প্রথম সমীকরণে বসালে পাই:

$2 (3) + y = 7$

অর্থাৎ,

$6 + y = 7$

সুতরাং,

$y = 1$

অতএব সমাধান

$x = 3, y = 1$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

একাধিক সমীকরণ একসাথে সমাধান করা হয়
চলকের মান সব সমীকরণে একই থাকে
বিয়োজন ও প্রতিস্থাপন পদ্ধতি বেশি ব্যবহৃত হয়
গ্রাফের সাহায্যেও সমাধান করা যায়

মনে রাখার উপায়

“একই চলকের মান সব সমীকরণে মিলবে” — এটাই সহসমীকরণের মূল ধারণা।

x + y = 5 একটি সমীকরণ। এখানে, x ও y দুইটি অজানা রাশি বা চলক। এই চলক দুইটি একঘাতবিশিষ্ট। এরূপ সমীকরণ সরল সমীকরণ।

এখানে, যে সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল 5 সেই সংখ্যা দ্বারাই সমীকরণটি সিদ্ধ হবে। যেমন, x = 4, y = 1; বা, x = 3, y = 2; বা, x = 2, y = 3; বা, x = 1, y = 4, ইত্যাদি, এরূপ অসংখ্য সংখ্যাযুগল দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।

আবার, x – y = 3 এই সমীকরণটি বিবেচনা করলে দেখতে পাই, সমীকরণটি x = 4, y=1 বা x = 5, y = 2 _বা_ x = 6, y = 3 বা x = 7, y = 4 বা x = 8, y = 5 বা x = 2, y = -1 বা x = 1, y = -2, x = 0, y = - 3 ... ইত্যাদি অসংখ্য সংখ্যাযুগল দ্বারা সিদ্ধ হয়।

এখানে, x + y = 5 এবং x - y = 3 সমীকরণ দুইটি একত্রে বিবেচনা করলে উভয় সমীকরণ হতে প্রাপ্ত সংখ্যাযুগলের মধ্যে x = 4, y = 1 দ্বারা উভয় সমীকরণ যুগপৎ সিদ্ধ হয়।

চলকের মান দ্বারা একাধিক সমীকরণ সিদ্ধ হলে, সমীকরণসমূহকে একত্রে সহসমীকরণ বলা হয় এবং চলক একঘাত বিশিষ্ট হলে সহসমীকরণকে সরল সহসমীকরণ বলে।

চলকদ্বয়ের যে মান দ্বারা সহসমীকরণ যুগপৎ সিদ্ধ হয়, এদেরকে সহসমীকরণের মূল বা সমাধান বলা হয় । এখানে x + y = 5 এবং x - y = 3 সমীকরণ দুইটি সহসমীকরণ। এদের একমাত্র সমাধান x=4, y=1_ যা (x, y) = ( 4, 1 ) দ্বারা প্রকাশ করা যায়।

দুই চলকবিশিষ্ট দুইটি সরল সমীকরণের সমাধানের পদ্ধতিগুলোর মধ্যে নিচের পদ্ধতি দুইটি আলোচনা
করা হলো :
(১) প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Method of Substitution)
(২) অপনয়ন পদ্ধতি (Method of Elimination)

(১) প্রতিস্থাপন পদ্ধতি

এই পদ্ধতিতে আমরা নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করে সমাধান করতে পারি :

(ক) যেকোনো সমীকরণ থেকে চলক দুইটির একটির মান অপরটির মাধ্যমে প্রকাশ করা।

(খ) অপর সমীকরণে প্রাপ্ত চলকের মানটি স্থাপন করে এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ সমাধান করা।

(গ) নির্ণীত সমাধান প্রদত্ত সমীকরণ দুইটির যেকোনো একটিতে বসিয়ে অপর চলকের মান নির্ণয় করা।

উদাহরণ ১। সমাধান কর :
x + y =7
x - y = 3

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
x + y = 7………………….(1)
x - y = 3…………………(2)

সমীকরণ (2) হতে পক্ষান্তর করে পাই,
x = y + 3...........(3)

সমীকরণ (3) হতে x এর মানটি সমীকরণ (1) -এ বসিয়ে পাই,
y + 3 + y =7
বা, 2y = 7 - 3
বা, 2y = 4
∴ y = 2
এখন সমীকরণ (3) এ y = 2 বসিয়ে পাই,
x = 2 + 3
∴ x = 5
নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (5, 2)

[শুদ্ধি পরীক্ষা : সমীকরণ দুইটিতে x = 5 ও y = 2 বসালে সমীকরণ (1)-এর বামপক্ষ = 5 + 2 = 7 = ডানপক্ষ এবং সমীকরণ (2)-এর বামপক্ষ = 5 - 2 = 3 = ডানপক্ষ।]

উদাহরণ ২। সমাধান কর :
x + 2y = 9
2x - y = 3
সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
x + 2y = 9……...……………..(1)
2x - y = 3…………………….(2)

সমীকরণ (2) হতে পাই, y = 2 x – 3……………………(3)

সমীকরণ (I) এ y এর মান বসিয়ে পাই, x + 2 (2x – 3) = 9
বা, x + 4x – 6 = 9
বা, 5 x = 6 +9
বা, 5 x = 15
বা, x = $\frac{15}{5}$
∴ x=3
এখন x এর মান সমীকরণ (3) -এ বসিয়ে পাই,
y = 2 x 3 - 3
= 6 - 3
= 3
নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3,3)

উদাহরণ ৩। সমাধান কর :
2y + 5z = 16
y - 2z = -1

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
2y + 5z = 16……………..(1)
y - 2z = -1………………….(2)

সমীকরণ (2) হতে পাই, y = 2z – 1……………………(3)

সমীকরণ (1) এ y এর মান বসিয়ে পাই,
2(2z-1)+5z = 16
বা, 4z - 2 + 5z = 16
বা, 9z= 16 + 2
বা, z = $\frac{18}{9}$
∴ x=3
এখন z এর মান সমীকরণ (3) -এ বসিয়ে পাই,
y = 2 x 3 - 3
= 6 - 3
∴ y = 3
নির্ণেয় সমাধান (y, z) = (3, 2)

উদাহরণ ৪। সমাধান কর :
$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$
$\frac{4}{x} - \frac{9}{y} = - 1$

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ……………..(1)
$\frac{4}{x} - \frac{9}{y} = - 1$ ………………….(2)

$\frac{1}{x} = u$ এবং $\frac{1}{y} = v$ ধরে (1) ও (2) নং সমীকরণ হতে পাই
2x + v = 3………….………(3)
4u - 9v = -1………………(4)

(3) নং সমীকরণ হতে পাই
v = 1 - 2u ………………..(5)

(4) নং সমীকরণে v এর মান বসিয়ে পাই, বা,

4u - 9 (1-2u) = -1

বা, 4u - 9 + 18 u = -1

বা, 22u = 9 – 1

∴ $u = \frac{8}{22} = \frac{4}{11}$

বা, $\frac{1}{x} = \frac{4}{11}$

∴ $x = \frac{11}{4}$

এখন, u এর মান (5) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

v = 1 - 2 $\times \frac{4}{11} = \frac{11 - 8}{11}$

∴ $v = \frac{3}{11}$

বা, $\frac{1}{y} = \frac{3}{11}$

∴ $y = \frac{11}{3}$

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = $(\frac{11}{4}, \frac{11}{3})$

(২) অপনয়ন পদ্ধতি

এই পদ্ধতিতে নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করে সমাধান করা যায় :
(ক) প্রদত্ত উভয় সমীকরণকে এমন দুইটি সংখ্যা বা রাশি দ্বারা পৃথকভাবে গুণ করতে হবে যেন যেকোনো একটি চলকের সহগের সাংখ্যিক মান সমান হয়।
(খ) একটি চলকের সহগ একই চিহ্ন বিশিষ্ট হলে সমীকরণ পরস্পর বিয়োগ, অন্যথায় যোগ করতে হবে।
বিয়োগফলকৃত (বা যোগফলকৃত) সমীকরণটি একটি এক চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণ হবে।
(গ) সরল সমীকরণ সমাধানের নিয়মে চলকটির মান নির্ণয় করা।
(ঘ) প্রাপ্ত চলকের মান প্রদত্ত যেকোনো একটি সমীকরণে বসিয়ে অপর চলকের মান নির্ণয় করা।

উদাহরণ ৫। সমাধান কর :
5x - 4y = 6
x + 2y = 4

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
5x - 4y = 6.………………….(1)
x+2y= 4.………………….(2)

(3) ও (4) সমীকরণ যোগ করে পাই,
7x = 14
বা, x = $\frac{14}{7}$ ………………….(4)

∴ x = 2

সমীকরণ (2) এx এর মান বসিয়ে পাই,
2 + 2y = 4
বা, 2y = 4 - 2
বা, y = $\frac{2}{2}$
∴ y = 1

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 1)

উদাহরণ ৬। সমাধান কর :
x + 4y = 14
7 x - 3y = 5

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
x + 4y = 14………………..(1)
7x - 3y = 5………………..(2)

সমীকরণ (1) কে 3 দ্বারা এবং সমীকরণ (2) কে 4 দ্বারা গুণ করে পাই,

বা, x = $\frac{62}{31}$

∴ x = 2

এখন x এর মান সমীকরণ (1) -এ বসিয়ে পাই,
2 + 4y=14
বা, 4y = 14 - 2
বা, 4 y = 12
বা, y = $\frac{12}{4}$
∴ y = 3

∴ (x, y) = (2, 3)

উদাহরণ ৭। সমাধান কর :
5x - 3y = 9
3x - 5y = - 1

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
5x - 3y = 9………………………(1)
3x - 5y = -1……………………..(2)

সমীকরণ (1) কে 5 দ্বারা এবং সমীকরণ (2) কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই

বা, x = $\frac{48}{16}$

∴ x = 3

সমীকরণ (1) এ x এর মান বসিয়ে পাই,
5 × 3 - 3y = 9
বা, 15 - 3y = 9
বা, - 3y = 9 - 15
বা, - 3y = - 6
বা, y = $\frac{- 6}{- 3}$
∴ y = 2

∴ (x, y) = (3, 2)

উদাহরন ৮।
$\frac{x}{5} + \frac{3}{y} = 3$
$\frac{x}{2} - \frac{6}{y} = 2$

সমাধান :
প্রদত্ত সমীকরণ
$\frac{x}{5} + \frac{3}{y} = 3$ …………………….(1)
$\frac{x}{2} - \frac{6}{y} = 2$ …………………….(2)

(1) সমীকরণকে (2) দ্বারা গুণ করে (2) নং সমীকরণ এর সাথে যোগ করে পাই,
$\frac{2 x}{5} + \frac{6}{y} = 6$ ………………….(3)
$\frac{x}{2} - \frac{6}{y} = 2$ …………………….(4)
$\frac{2 x}{5} + \frac{x}{2} = 8$
বা, $\frac{4 x + 5 x}{10} = 8$
বা, 9x = 8 × 10
বা, x = $\frac{80}{9}$

(1) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
$\frac{1}{5} \times \frac{80}{9} + \frac{3}{y} = 3$
বা, $\frac{16}{9} + \frac{3}{y} = 3$
বা, $\frac{3}{y} = 3 - \frac{16}{9}$
বা, $\frac{3}{y} = \frac{11}{9}$
বা, $y = \frac{27}{11}$
∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = $(\frac{80}{9}, \frac{27}{11})$

আড়গুণন পদ্ধতি (Cross multiplication method) :

আড়গুণন পদ্ধতিকে বজ্রগুণন পদ্ধতিও বলে।

নিচের সমীকরণ দুইটি বিবেচনা করি :

সমীকরণ (1) কে b2 দিয়ে ও সমীকরণ (2) কে $b_{1}$ দিয়ে গুণ করে পাই,

সমীকরণ (3) থেকে সমীকরণ (4) বিয়োগ করে পাই,

আবার, সমীকরণ (1) কে দিয়ে ও সমীকরণ (2) কে $a_{1}$ দিয়ে গুণ করে পাই,

সমীকরণ (6) থেকে সমীকরণ (7) বিয়োগ করে পাই,

সমীকরণ (5) ও (8) থেকে পাই,

x ও y এর এরূপ সম্পর্ক থেকে এদের মান নির্ণয়ের কৌশলকে আড়গুণন পদ্ধতি বলে।

x ও y এর উল্লেখিত সম্পর্ক থেকে পাই,

লক্ষ করি :

দ্রষ্টব্য : প্রদত্ত উভয় সমীকরণের ধ্রুবক পদ ডানপক্ষে রেখেও আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করা যায়। তবে সেক্ষেত্রে চিহ্নের কিছু পরিবর্তন হবে। কিন্তু সমাধান একই পাওয়া যাবে।

উদাহরণ ৪. আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান কর :

6x – y = 1

3x + 2y = 13

সমাধান : পক্ষান্তর প্রক্রিয়ায় প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের ডানপক্ষ 0 (শূন্য) করে পাই,

6x – y – 1 = 0

3x + 2y – 13 = 0

সমীকরণদ্বয়কে যথাক্রমে

এর সাথে তুলনা করে পাই,

আড়গুণন পদ্ধতিতে পাই,

উদাহরণ ৫. আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান কর :

3x - 4y = 0

2x - 3y = - 1

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়

আড়গুণন পদ্ধতিতে পাই,

উদাহরণ ৬. আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান কর :

সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে ax + by + c = 0 আকারে সাজিয়ে পাই,

$∴$ সমীকরণদ্বয়

3x + 2y - 48 = 0

5x - 12y + 12 = 0

আড়গুণন পদ্ধতিতে পাই,

সমাধানের শুদ্ধি পরীক্ষা: প্রাপ্ত x ও y এর মান প্রদত্ত সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$∴$ সমাধান শুদ্ধ হয়েছে।

উদাহরণ ৭. আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান কর : ax - by = ab = bx - ay

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়,

আড়গুণন পদ্ধতিতে পাই,

লৈখিক পদ্ধতি (Graphical Method)

দুই চলকবিশিষ্ট একটি সরল সমীকরণে বিদ্যমান চলক x ও y এর সম্পর্ককে চিত্রের সাহায্যে প্ৰকাশ করা যায়। এই চিত্রকে ঐ সম্পর্কের লেখচিত্র বলে। এ জাতীয় সমীকরণের লেখচিত্রে অসংখ্য বিন্দু থাকে। এরূপ কয়েকটি বিন্দু স্থাপন করে এদের পরস্পর সংযুক্ত করলেই লেখচিত্র পাওয়া যায়।

সরল সহসমীকরণের প্রত্যেকটির অসংখ্য সমাধান রয়েছে। প্রত্যেকটি সমীকরণের লেখ একটি সরলরেখা। সরলরেখাটির প্রত্যেকটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে। কোনো লেখ নির্দিষ্ট করতে তিন বা ততোধিক বিন্দু আবশ্যক। এখন আমরা নিচের সমীকরণজোটটি সমাধান করার চেষ্টা করবো :

2x + y = 3 … (1)

4x + 2y = 6 ... (2)

সমীকরণ (1) থেকে পাই, y=3-2x ।

সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিম্নের ছকটি তৈরি করি :

x	-1	0	3
y	5	3	-3

$∴$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (–1, 5), (0, 3) ও (3, − 3 ) ।

আবার, সমীকরণ (2) থেকে পাই,

সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপে মান বের করি ও নিম্নের ছকটি তৈরি করি :

x	-2	0	6
y	7	3	-9

$∴$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (−2, 7), (0, 3 ) ও ( 6, 9 )।

মনে করি, ছক কাগজে XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও Y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু।

ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি। এখন সমীকরণ (1) হতে প্রাপ্ত (–1, 5), (0, 3) ও (3, − 3) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও এদের পরস্পর সংযুক্ত করি। লেখটি একটি সরলরেখা।

আবার, সমীকরণ (2) হতে প্রাপ্ত (−2, 7), (0, 3) ও (6, – 9 ) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও এদের পরস্পর সংযুক্ত করি। এক্ষেত্রেও লেখটি একটি সরলরেখা।

তবে লক্ষ করি, সরলরেখা দুইটি পরস্পরের উপর সমাপতিত হয়ে একটি সরলরেখায় পরিণত হয়েছে। আবার, সমীকরণ (2) এর উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করলে সমীকরণ (1) পাওয়া যায়। এ কারণে সমীকরণদ্বয়ের লেখ পরস্পর সমাপতিত হয়েছে।

$∴$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (–1, – 6), (0, – 4), ( 4, 4)।

আবার, সমীকরণ (2) থেকে পাই,

4x – 2y = 12, বা, 2x – y = 6 [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

বা, y = 2x – 6

$∴$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (0, – 6), (3,0), (6, 6) ।

মনে করি, ছক কাগজে XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু। ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে সমীকরণ (1) হতে প্রাপ্ত (–1, – 6), (0, – 4 ) ও ( 4, 4 ) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও এদের পরস্পর সংযুক্ত করি। লেখটি একটি সরলরেখা।

আবার, সমীকরণ (2) হতে প্রাপ্ত (0, – 6), (3,0), (6, 6) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও এদের পরস্পর সংযুক্ত করি। এক্ষেত্রেও লেখটি একটি সরলরেখা।

চিত্রে লক্ষ করি, প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের পৃথকভাবে প্রত্যেকটির অসংখ্য সমাধান থাকলেও জোট হিসেবে এদের সাধারণ সমাধান নেই। আরও লক্ষ করি যে, প্রদত্ত সমীকরণ দুইটির লেখচিত্র দুইটি পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখা। অর্থাৎ, রেখা দুইটি কখনো একে অপরকে ছেদ করবে না। অতএব, এদের কোনো সাধারণ ছেদ বিন্দু পাওয়া যাবে না। এ ক্ষেত্রে আমরা বলি যে, এরূপ সমীকরণজোটের কোনো সমাধান নেই। আমরা জানি, এরূপ সমীকরণজোট অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল।

আমরা এখন লেখচিত্রের সাহায্যে সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল সমীকরণজোট সমাধান করবো।

দুই চলকবিশিষ্ট দুইটি সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল সরল সমীকরণের লেখ একটি বিন্দুতে ছেদ করে। ঐ ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা উভয় সমীকরণ সিদ্ধ হবে। ছেদবিন্দুটির স্থানাঙ্কই হবে সমীকরণদ্বয়ের সমাধান।

উদাহরণ ৮. সমাধান কর ও সমাধান লেখচিত্রে দেখাও :

2x + y = 8

3x - 2y – 5

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়

2x + y – 8 = 0 ... (1)

3x - 2y 5 = 0 ...(2)

আড়গুণন পদ্ধতিতে পাই,

$∴$ সমাধান : (x, y) = (3, 2)

মনে করি, XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু। ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি দুই বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (3,2) বিন্দুটি স্থাপন করি।

উদাহরণ ৯. লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান কর :

3x - y = 3

5x + y = 21

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়

3x – y = 3 . . . (1)

5x + y = 21 . . . (2)

সমীকরণ (1) থেকে পাই, 3x - y = 3, বা, y = 3x - 3

$∴$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (–1, – 6), (0, – 3), (3, 6)

আবার, সমীকরণ (2) থেকে পাই, 5x + y = 21, বা, y = 21 – 52

$∴$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (3, 6), ( 4, 1), (5, – 4) ।

মনে করি, XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু। ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি। এখন ছক কাগজে সমীকরণ (1) হতে প্রাপ্ত (–1, – 6), (0, – 3), ( 3, 6 ) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও এদের পরস্পর সংযুক্ত করি। লেখটি একটি সরলরেখা।

একইভাবে, সমীকরণ (2) হতে প্রাপ্ত (3, 6), ( 4, 1 ), ( 5, – 4 ) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও এদের পরস্পর সংযুক্ত করি। এক্ষেত্রেও লেখটি একটি সরলরেখা।

মনে করি, সরলরেখাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করেছে। চিত্র থেকে দেখা যায়, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 6)

$∴$ সমাধান: (x, y) = ( 3, 6)

উদাহরণ ১০. লৈখিক পদ্ধতিতে সমাধান কর :

2x + 5y = −14

4x – 5y = 17

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়

2x + 5y = - 14 . . . (1)

4x - 5y = 17. . . (2)

সমীকরণটিতে x এর সুবিধামত কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিম্নের ছকটি তৈরি করি :

মনে করি, XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু। ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি দুই বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি। এখন, ছক কাগজে সমীকরণ (1) থেকে প্রাপ্ত (3,-4), $(\frac{1}{3}, - 3), (- 2, - 2)$ বিন্দুগুলো স্থাপন করে এদের পরপর সংযুক্ত করি। লেখটি একটি সরলরেখা।

আবার, সমীকরণ (2) এ x-এর কয়েকটি মান নিয়ে y-এর অনুরূপ মান বের করি ও নিম্নের ছকটি তৈরি করি :

$∴$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (1, 4), (2, 0 ), ( 3, –4)

মনে করি, XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু৷ ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি। এখন, ছক কাগজে সমীকরণ (1) থেকে প্রাপ্ত (−2, 6), (0, 3), (2, 0 ) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও বিন্দুগুলো পরপর সংযুক্ত করি। তাহলে, লেখটি হবে একটি সরলরেখা।

একইভাবে, সমীকরণ (2) থেকে প্রাপ্ত (3,-1), $(\frac{1}{3}, - 3), (- 2, - 5)$ বিন্দুগুলো স্থাপন করে এদের পরপর সংযুক্ত । লেখটি একটি সরলরেখা।

$∴$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (1, 4), (2, 0 ), ( 3, –4)

একইভাবে, সমীকরণ (2) থেকে প্রাপ্ত (1, 4), (2, 0), (3, – 4 ) বিন্দুগুলো স্থাপন করে এগুলো পরপর সংযুক্ত করি। তাহলে, লেখটি হবে একটি সরলরেখা।

মনে করি, সরলরেখাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। চিত্রে দেখা যায়, P ছেদবিন্দুটির স্থানাঙ্ক (2, 0) I

$∴$ সমাধান : x = 2

বাস্তবভিত্তিক সমস্যার সহসমীকরণ গঠন ও সমাধান

দৈনন্দিন জীবনে এমন কিছু গাণিতিক সমস্যা আছে যা সমীকরণ গঠনের মাধ্যমে সমাধান করা সহজতর হয়। এ জন্য সমস্যার শর্ত বা শর্তাবলি থেকে দুইটি অজ্ঞাত রাশির জন্য দুইটি গাণিতিক প্রতীক, প্রধানত চলক x, y ধরা হয়। অজ্ঞাত রাশি দুইটির মান নির্ণয়ের জন্য দুইটি সমীকরণ গঠন করতে হয়। গঠিত সমীকরণদ্বয় সমাধান করলেই অজ্ঞাত রাশি দুইটির মান পাওয়া যায়।

উদাহরণ ১২. দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাথে 5 যোগ করলে যোগফল হবে সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্কের তিনগুণ। আর সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে, তা মূল সংখ্যাটি থেকে 9 কম হবে। সংখ্যাটি নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, নির্ণেয় সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক x এবং একক স্থানীয় অঙ্ক y। অতএব, সংখ্যাটি 10x + y ।

$∴$ ১ম শর্তানুসারে, x + y + 5 = 3x . . . (1)

এবং ২য় শর্তানুসারে, 10y + x = (10x + y) – 9 . . . (2)

সমীকরণ (1) থেকে পাই, y - 3x - x – 5, বা, y = 2x – 5 . . . (3)

আবার, সমীকরণ (2) থেকে পাই,

10y – y + x - 10x + 9 = 0

বা, 9y – 9x + 9 = 0

বা, y − x + 1 = 0

বা, 2x – 5 – x + 1 = 0 [(3) হতে y এর মান বসিয়ে পাই]

বা, x = 4

(3) এ x এর মান বসিয়ে পাই, y = 2 × 4 – 5 = 8 – 5 = 3

$∴$ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে 10x + y 10 × 4 + 3 = 40 + 3 = 43

উদাহরণ ১৩. আট বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের আটগুণ ছিল। দশ বছর পর পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ হবে। বর্তমানে কার বয়স কত?

সমাধান : মনে করি, বর্তমানে পিতার বয়স x বছর ও পুত্রের বয়স y বছর।

$∴$ বর্তমানে পিতার বয়স 32 বছর ও পুত্রের বয়স 11 বছর।

উদাহরণ ১৪. একটি আয়তাকার বাগানের প্রস্থের দ্বিগুণ, দৈর্ঘ্য অপেক্ষা 10 মিটার বেশি এবং বাগানটির পরিসীমা 100 মিটার। বাগানটির সীমানার বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া রাস্তা আছে। রাস্তাটি ইট দিয়ে তৈরি করতে প্রতি বর্গ মিটারে 110 টাকা খরচ হয়।

ক) বাগানটির দৈর্ঘ্য x মিটার ও প্রস্থ y মিটার ধরে সমীকরণজোট গঠন কর।

খ) বাগানটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।

গ) রাস্তাটি ইট দিয়ে তৈরি করতে মোট কত খরচ হবে?

সমাধান :

ক)

আয়তাকার বাগানটির দৈর্ঘ্য x মিটার ও প্রস্থ y মিটার।

$∴$ ১ম শর্তানুসারে, 2y = x + 10 (1)

এবং ২য় শর্তানুসারে, 2(x + y) = 100 . . . (2)

খ) সমীকরণ (2) হতে পাই, 2x + 2y = 100

বা, 2x + x + 10 100 [(1) হতে 2y এর মান বসিয়ে]

বা, 3x = 90

বা, x = 30

$∴$ (1) হতে পাই, 2y = 30 + 10 [x এর মান বসিয়ে]

বা, 2y = 40

বা, y = 20

$∴$ বাগানটির দৈর্ঘ্য 30 মিটার ও প্রস্থ 20 মিটার।

গ)

রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = (30+ 4) মি. = 34 মি. এবং রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = (20 + 4) মি. = 24 মি.

$∴$ রাস্তার ক্ষেত্রফল = রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল - বাগানের ক্ষেত্রফল

= (34 × 24 - 30 × 20) বর্গমিটার।

= (816 – 600) বর্গমিটার।

= 216 বর্গমিটার।

$∴$ ইট দিয়ে রাস্তা তৈরি করার খরচ = (216 × 110) টাকা = 23760 টাকা

উদাহরণ ১৫. ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা কতবার একটির উপরে আরেকটি বসে? সময়গুলো নির্ণয় কর।

সমাধান: মনে করি, টা y মিনিটে ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা একটি আরেকটির উপরে বসে। মনে রাখতে হবে x (সুবিধার্থে x 0,1, . . . 11 যেখানে 0 প্রকৃতপক্ষে 12 বোঝাবে) পূর্ণসংখ্যা হলেও y কিন্তু পূর্ণসংখ্যা নাও হতে পারে। আমরা জানি মিনিটের কাঁটা ঘণ্টার কাঁটার তুলনায় 12 গুণ বেশি দ্রুত চলে। x টার সময় ঘণ্টার কাঁটা ঠিক x লেখার উপরে এবং মিনিটের কাঁটা 12 এর উপরে ছিল। মিনিটে ঘন্টার কাঁটা $\frac{y}{12}$ এবং মিনিটের কাঁটা y ঘর অতিক্রম করবে। তাই

প্রথম ও শেষ সময় দুইটি একই সময় বলে কাঁটা দুইটি 11 বার মিলিত হবে এবং সময়গুলো হলো x টা $\frac{60}{11} x$ মিনিট।

Solve the following mathematical problems:

(১) প্রতিস্থাপন পদ্ধতি

(২) অপনয়ন পদ্ধতি

বাস্তবভিত্তিক সমস্যার সহসমীকরণ গঠন ও সমাধান

Related Question

Related Question