Solve the following mathematical problems:

Created: 7 months ago | Updated: 7 months ago

Updated: 7 months ago

BB SPCBL Officer - 2025 গণিত 2025 বিন্যাস (Permutation) দূরত্ব ও উচ্চতা (Heights & Distances) - ত্রিকোণমিতি গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression) ল.সা.গু (L.C.M - Least Common Multiple) চক্রবৃদ্ধি মুনাফা (Compound Interest)

1.1k

(a)

Serial numbers for a product are to be made using 2 letters followed by 3 numbers. If the letters are to be taken from the first 8 letters of the alphabet with no repetitions and the numbers are to be taken from the 10 digits (0-9) with no repetitions, how many serial numbers are possible?

উত্তরঃ

Given, serial numbers are to be made using 2 letters followed by 3 numbers.

For the letters:

There are 8 distinct letters (first 8 letters of the alphabet: A, B, C, D, E, F, G, H).

We need to choose and arrange 2 letters without repetition.

This is a permutation of 8 items taken 2 at a time, denoted as $ P(8, 2) $.

The formula for permutation is $ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} $.

Number of ways to arrange letters = $ P(8, 2) = \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{8!}{6!} = 8 \times 7 = 56 $

For the numbers:

There are 10 distinct digits (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

We need to choose and arrange 3 numbers without repetition.

This is a permutation of 10 items taken 3 at a time, denoted as $ P(10, 3) $.

Number of ways to arrange numbers = $ P(10, 3) = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720 $

To find the total number of possible serial numbers, we multiply the number of ways to arrange the letters by the number of ways to arrange the numbers (Fundamental Principle of Counting).

Total number of serial numbers = (Number of ways to arrange letters) $\times$ (Number of ways to arrange numbers)

Total number of serial numbers = $ 56 \times 720 $

Total number of serial numbers = $ 40320 $

Therefore, 40320 serial numbers are possible.

Satt AI

1 week ago

(b)

On the same side of a tower two objects are located. The angles of depression of the two objects observed from the top of the tower are 30 $°$ and 60 $°$ If the height of the tower is $150 \sqrt{3}$ m find the distance between the two objects.

উত্তরঃ

Step 1: Understand the problem and identify the given values.

Let the height of the tower be AB. Given, $AB = h = 150\sqrt{3}$ m.

Let the two objects be at points C and D, located on the same side of the base of the tower B.

The angles of depression from the top of the tower A are $60^\circ$ and $30^\circ$.

As the angle of depression is larger for the closer object, point C is closer to the tower than point D.

So, the angle of depression to C is $60^\circ$, which implies $\angle ACB = 60^\circ$.

The angle of depression to D is $30^\circ$, which implies $\angle ADB = 30^\circ$.

We need to find the distance between the two objects, i.e., CD.

Step 2: Calculate the distance of the closer object (C) from the base of the tower (B).

Consider the right-angled triangle $\triangle ABC$.

We know that $\tan\theta = \frac{\text{Opposite}}{\text{Adjacent}}$.

Here, $\tan(\angle ACB) = \frac{AB}{BC}$.

$\tan(60^\circ) = \frac{150\sqrt{3}}{BC}$

$\sqrt{3} = \frac{150\sqrt{3}}{BC}$

$BC = \frac{150\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$BC = 150$ m

Step 3: Calculate the distance of the farther object (D) from the base of the tower (B).

Consider the right-angled triangle $\triangle ABD$.

Here, $\tan(\angle ADB) = \frac{AB}{BD}$.

$\tan(30^\circ) = \frac{150\sqrt{3}}{BD}$

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{150\sqrt{3}}{BD}$

$BD = 150\sqrt{3} \times \sqrt{3}$

$BD = 150 \times 3$

$BD = 450$ m

Step 4: Determine the distance between the two objects.

The distance between the two objects (CD) is the difference between BD and BC.

$CD = BD - BC$

$CD = 450 - 150$

$CD = 300$ m

Therefore, the distance between the two objects is $300$ meters.

Satt AI

3 days ago

(c)

If $\frac{\sqrt{2}}{3}$ and $\frac{8 \sqrt{2}}{81}$ be the 4^th and 10^th terms, respectively, of a geometric series, find the 7^th term of that series.

Add Explanation

(d)

Find a number nearest to 43583, which is divisible by each of 25, 50 and 75.

Add Explanation

(e)

A debt of Tk. 1000 with interest at 16%, compounded quarterly, is to be amortized by 20 quarterly equal payments over the next 5 years. What will be the amount of these payments?

উত্তরঃ

Given the following information:

Principal debt (PV) = Tk. 1000

Annual interest rate = 16%

Compounded quarterly

Number of quarterly payments (n) = 20 (over 5 years, with 4 quarters/year, so 5 * 4 = 20 payments)

First, calculate the quarterly interest rate (i):

$i = \frac{\text{Annual Interest Rate}}{\text{Number of compounding periods per year}}$

$i = \frac{16\%}{4} = 4\% = 0.04$

The formula for calculating the payment (PMT) of an amortized loan (present value of an ordinary annuity) is:

$PMT = PV \times \frac{i}{1 - (1+i)^{-n}}$

Now, substitute the known values into the formula:

$PMT = 1000 \times \frac{0.04}{1 - (1+0.04)^{-20}}$

$PMT = 1000 \times \frac{0.04}{1 - (1.04)^{-20}}$

Calculate $(1.04)^{-20}$:

$(1.04)^{-20} \approx 0.45638693$

Substitute this value back into the equation:

$PMT = 1000 \times \frac{0.04}{1 - 0.45638693}$

$PMT = 1000 \times \frac{0.04}{0.54361307}$

Calculate the fraction:

$\frac{0.04}{0.54361307} \approx 0.07358703$

Finally, calculate the payment amount (PMT):

$PMT = 1000 \times 0.07358703$

$PMT \approx 73.58703$

Rounding to two decimal places, the amount of each quarterly payment will be Tk. 73.59.

Satt AI

1 week ago

1.1k

MCQ: 156 CQ: 76

Practice

বিন্যাস (Permutation)

কতগুলি বস্তু থেকে কয়েকটি বা সবকটি অথবা নির্দিষ্ট কয়েকটি প্রতিবারে নিয়ে যত ভাবে বিন্যস্ত করা বা সাজানো যায় তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি বিন্যাস বলে ।

উদাহরণ: মনে করি A, B, C, তিনটি বর্ণ। একসাথে সবকটি বর্ণ নিয়ে সাজানো যায়। ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA মোট ৬ ভাবে। যাদের প্রতিটিকে এক একটি বিন্যাস বলে ।

সুতরাং উপরোক্ত উদাহরণ থেকে বুঝা যায় সবকটি ঘটনাই এক একটি বিন্যাস বা সাজানোর ব্যবস্থা তাহলে মোট সাজানোর ব্যবস্থা হলো ৬ টি।

উদাহরণ: মনে করি A,B,C তিনটি বর্ণ। একসাথে দুইটি বর্ণ করে নিয়ে সাজানো যায়। AB, BA, AC, CA, BC, CB .

বাস্তবে প্রয়োগ :

ছাত্র-ছাত্রীদের রোল নম্বর, গাড়ীর লাইসেন্স, মোবাইল নম্বর, ভোটার আইডি কার্ডের নম্বর ০ থেকে ৯ পর্যন্ত ১০ টি ডিজিট নিয়েই কোটি কোটি সংখ্যা বানানো হয়, যার একটির সাথে অন্য কোনটির মিল নেই। এগুলো সবগুলোই বিন্যাসের নিয়ম অনুসারে তৈরী করা হয়।

বিন্যাসের সুত্র

n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রতিবারে r সংখ্যক বস্তু নিয়ে মোট সাজানোর ব্যবস্থা বের করার সূত্র হলো:

$n_{P_{r}} = \frac{n!}{(n - r)!}$ [ এখানে n = মোট উপাদান , r = মোট উপাদানের মধ্যে যতটি উপাদান নিয়ে বিন্যাস করতে হয়। ]

সুত্রের ব্যাখ্যা: এখানে n! অর্থ হলো n এর সাথে তার নিচের সকল ক্রমিক সংখ্যার গুণফল। যেমন: ধরি n এর মান 5 এবং r এর মান 2। তাহলে মানগুলো বসিয়ে সুত্রটি নিম্নোক্ত নিয়মে ব্যবহার করতে হবে,

$5_{P_{2}} = \frac{5!}{(5 - 2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5×4×3×2×1}{3×2×1}$

অথবা

5!
3!

= $\frac{5!}{3!} = \frac{5×4×3!}{3!}$ [ এখন উপরের ও নিচের 3! কে কেটে দিলে শুধু 5×4 = 20 থাকে ।

বি:দ্র: এক্ষেত্রে মনে রাখতে হবে ঘটনাবলি পুণরাবৃত্তি হয় না ।

Factorial (!) কী ও কেন?

Factorial (!) হচ্ছে কোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণন বিধি যা ১ করে কমে ক্রমান্বয়ে গুণ হয়ে ১ পর্যন্ত হবে। যেমন, ২! = ২×১, ৩! = ৩×২×১, ৪! = ৪×৩×২×১ এবং ৫ ! = (৫×৪×৩×২×১) = ১২০; ইত্যাদি।

অবশ্যই মনে রাখুন: 0! = 1 (কারণ বড় সংখ্যার ফ্যাক্টোরিয়ালকে ঐ সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে তার আগের সংখ্যার ফ্যাক্টোরিয়াল আসে। যেমন: ৬! = ৭২০ তাই ৭২০÷৬ = ১২০ হলো ৫! এর মান। তাই ১! = ১ এর ১ কে ১ দিয়ে ভাগ করলে আবার ১ ই হয় যা ১ এর পূর্ববর্তী সংখ্যা ০! এর মান। সুতরাং ০! = ১ লিখা হয়।)

এখানে ১ করে কমে যায় কেন?

ধরুন, আপনার হাতে তিনটি হ্যাঙ্গার আছে । যেখানে আপনি তিনটি ভিন্ন শার্ট সাজিয়ে রাখবেন ।

$\Rightarrow$ প্রথম হ্যাঙ্গারটিতে তিনটি শার্টের যে কোন একটি ঝোলানো যাবে ৩ ভাবে, অর্থাৎ এখানে অপশন আছে ৩টি।

$\Rightarrow$ দ্বিতীয় হ্যাঙ্গারটিতে অবশিষ্ট দুটি শার্টের মধ্য থেকে একটিকে ঝোলানোর অপশন আছে দুটি অর্থাৎ দুভাবে। (কারণ আগে একটি চলে গেছে)

$\Rightarrow$ সর্বশেষ হ্যাঙ্গারটিতে মাত্র একটি শার্ট একভাবেই ঝোলানোর উপায় আছে ।

অর্থাৎ একটি করে নেয়ার পর একটি করে অপশন কমতে থাকে বলে এই নিয়মটি লিখতে হয় ৩×২×১ = ৬ ভাবে। যাকে ফ্যাক্টোরিয়াল আকারে লিখলে লিখতে হবে ৩! ।

পুণরাবৃত্তি না করার বিন্যাস

যদি একটি উপাদানকে একের অধিকবার ব্যাবহার করা না যায় তাহলে নিম্নোক্ত কয়েকটি নিয়মে বিন্যাস করতে হয়:

যখন সব উপাদান ভিন্ন:
যখন সব উপাদান ভিন্ন তখন Permutation, দুটি বিষয়ের উপর নির্ভর করে। ১. এর উপাদান সংখ্যা ও ২. কতটি উপাদান নিতে হবে। এক্ষেত্রে উপাদান সংখ্যা n(মোট উপাদানকে n দ্বারা প্রকাশ করা হয়) এবং r সংখ্যক উপাদান নিতে হলে, বিন্যাস সংখ্যা $n p_{r}$ $n p_{r}$ $n p_{r}$ P rP r, যা ব্যাখ্যা করে দাঁড়ায় n, 1 করে কমে r ধাপ পর্যন্ত।

Formula of Permutation
$n_{P_{r}} = \frac{n!}{(n - r)!}$ [ এখানে n = মোট উপাদান , r = মোট উপাদানের মধ্যে যতটি উপাদান নিয়ে বিন্যাস করতে হয়। ]

পুণরাবৃত্তির বিন্যাস

উপরের প্রশ্নগুলোতে যে কোন সংখ্যা বা অক্ষর শুধুমাত্র ১ বার ব্যবহার করা হয়েছে। অর্থাৎ একই সংখ্যা বা অক্ষর একাধিকবার ব্যবহৃত হয় নি।
যেমন: ১ ও ২ কে একবার মাত্র ব্যবহার করে, দু ' অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায়? এরকম প্রশ্নের উত্তর ২! বা ২টি যথা: ১২ এবং ২১ কিন্তু এই একই প্রশ্নে repetition allowed বা পুণরাবৃত্তি করা গেলে ১ ও ২ কে ব্যবহার করে ২ অঙ্কের সংখ্যা বানানো যাবে = ২^২ = ৪ টি । যথা: ১২, ২১, এর সাথে ১১ এবং ২২ [ অর্থাৎ একই সংখ্যাকে একাধিকবার ব্যাবহার করা যাবে। ]

Formula of Repetition = n^r [ এখানে n হচ্ছে মোট উপাদান এবং r = যতবার নিতে হবে। ]

পূনরাবৃত্তি করে A, B, C তিনটি উপাদান থেকে কয়ভাবে ২টি উপাদান নেয়া যাবে? এখানে, সকল বিন্যাস হবে এরূপ, AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC, 9টি। কেননা প্রতি ক্ষেত্রেই প্রতি ধাপে আগের সব options থেকে যায়। এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা n^r=3²=9 । অর্থাৎ এক বর্ণ রিপিট করা গেলে এভাবে।