solve the mathematical problems:

দুই অঙ্ক বিশিষ্ট যে সকল সংখ্যাগুলো ৩ দ্বারা বিভাজ্য, তাদের ধারাটি হলোঃ

১২ + ১৫ + ১৮ +…….+ ৯৯

এই ধারাটির সমষ্টি বের করতে হবে।

ধরি, ধারাটির প্রথম পদ, a = ১২; এবং সাধারণ অন্তর d = ১৫ - ১২ = ৩

$\therefore$আমরা জানি, n তম পদ = a + (n-১)d

=৯৯=১২+ (n-১)৩

=৯৯=১২+৩n-৩=৩n+৯

=৩n=৯০

$\therefore$n=$\frac{৯০}{৩}=৩০$

অতএব, ৯৯তম পদের সমষ্টি =$\frac{n}{২}${ (২a + (n-১)d}

$\frac{৩০}{২}\left\{\right(২\times ১২)+(৩০-১\left)৩\right\}=১৫(২৪+২৯\times ৩)=১৫\times ১১১=১৬৬৫$

উত্তরঃ দুই অঙ্ক বিশিষ্ট যেসকল সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য তাদের যোগফল ১,৬৬৫।

$$\begin{gathered} Given that, 2^{n-1}+2^{n+1}=320 \\ =2^n\times 2^{-1}+2^n\times 2^1=320 \\ =2^n\times \frac{1}{2^1}+2^n\times 2=320 \\ =\frac{2^n}{2}+2\times 2^n=320 \\ =\frac{2^n+4\times 2^n}{2}=320 \\ =5\times 2^n=640 \\ =2^n=\frac{640}{5} \\ =2^n=128 \\ =2^n=2^7 \\ \therefore n=7 \end{gathered}$$

চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে সর্বদা অবশিষ্ট টাকার উপর ধার্যকৃত সুদ ধরে সুদাসলের পরিমাণ বের করতে হয়।

এরপর কিস্তি যত দেয়া হবে তা সুদাসল হতে বাদ দিয়ে অবশিষ্ট অঙ্কের উপর ধার্যকৃত সুদ দিয়ে পরবর্তী সুদাসল বের করতে হয়।

এখন ৯% চক্রবৃদ্ধিসুদে ১,৬০,০০০ টাকার সুদাসল = ১,৬০,০০০ এর$\frac{১০৯}{১০০}=১৭৪৪০০$ টাকা

প্রথম কিস্তির পর অবশিষ্ট থাকে = ১,৭৪,৪০০- ৬০,০০০ = ১,১৪,৪০০ টাকা

আবার, ৯% চক্রবৃদ্ধি সুদে ১,১৪,৪০০ টাকার সুদাসল = ১,১৪,৪০০ এর $\frac{১০৯}{১০০}$= ১,২৪,৬৯৬ টাকা

দ্বিতীয় কিস্তির পর অবশিষ্ট থাকে = ১.২৪৬৬ ৬০,০০০= ৬৪.৬৯৬ টাকা

আবার, ৯% চক্রবৃদ্ধি সুদে ৬৪ ৬৪৬ টাকার সুদাসল = ৬৪,৬৮৬ এর $\frac{১০৯}{১০০}$= ৭০,৫১৮.৬৪ টাকা

তৃতীয় কিস্তির পর অবশিষ্ট থাকে = ৭০,৫১৮.৬৪ - ৬০,০০০ = ১০,৫১৮.৬৪ টাকা

প্রথম বোতলে এসিড আছে $\frac{২}{৫}$অংশ এবং প্রথম বোতলে পানি আছে$\frac{৩}{৫}$ অংশ

আবার, দ্বিতীয় বোতলে এসিড আছে $\frac{১}{৩}$ অংশ এবং দ্বিতীয় বোতলে পানি আছে $\frac{২}{৩}$অংশ

এখন, উভয় বোতল হতে ১৩ অনুপাতে মিশ্রণ নেয়ায়

প্রথম বোতল হতে এসিড ও পানি নিয়েছে ১ অংশ আর ২য় বোতল হতে এসিড ও পানি নিয়েছে ৩ অংশ করে।

প্রশ্নমতে, এসিডঃ পানি

$$\begin{gathered} =\frac{২}{৫}\times 1+\frac{১}{৩}\times ৩ : \frac{৩}{৫}\times ১+\frac{২}{৩}\times ৩ \\ =\frac{২}{৫}+১ : \frac{৩}{৫}+২ \\ =\frac{২+৫}{৫} : \frac{৩+১০}{৫} \\ =\frac{৭}{৫} : \frac{১৩}{৫} \end{gathered}$$

=৭ : ১৩        [৫ দ্বারা গুণ করে}

অর্থ্যাৎ এসিড ও পানি = ৭ : ১৩

এখানে, ৫ kmph বেগে ৪ ঘণ্টায় চললে যাবে = ৪ x ৫ = ২০ kmph

আর ৭ kmph বেগে ৪ ঘণ্টায় চললে যাবে = ৪ x ৭ = ২৮ kmph

এবার ধরি, AB = a; BC = b এবং CA = c

এখানে, তাদের মধ্যকার দূরত্ব যা ত্রিভুজটির ৩য় বাহু।

এক্ষেত্রে পিথাগোরাসের Cosine এর সূত্র প্রয়োগ করলে আমরা পাইঃ

তৃতীয় বাহু = a2 + b2 - 2cose x ab

=c²  = (২০)^২ + (২৮)^২ - 2 X cos ৬০ X ২০ X ২৮

$$\begin{gathered} =c^2=(৪০০+৭৮৪)-২\times \frac{১}{২}\times ২০\times ২৮ \\ =c^2=১১৮৪-৫৬০=৬২৪ \\ =c=\sqrt{৬২৪}=\sqrt{৩৯\times ১৬}=\sqrt{৩৯\times {৪}^{২}}=৪\sqrt{৩৯} \\ \therefore c=৪\times ৬.২৪৫=২৪.৯৮ km \end{gathered}$$

উত্তরঃ মধ্যবর্তী দূরত্ব ২৪.৯৮ কিলোমিটার (প্রায়)।