Susan invited 13 of her friends for her birthday party and created return gift hampers. comprising one each of $3, S4, and $5 gift certificates. One of her friends did not turn up and Susan decided to rework her gift hampers such that each of the 12 friends who turned up got $13 worth gift certificates. How many gift hampers did not contain $5 gift certificates in the new configuration?

Created: 3 years ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

2.3k

উত্তরঃ

$T o t a l v a l u e o f i n i t i a l c o n f i g e r a t i o n = 13 h a m p e r \times $ 12 = $ 156$

$A g a i n t o t a l v a l u e o f n e w c o n f i g e r a t i o n = 12 h a m p e r \times $ 13 = $ 156$

$∴$ The value of gift certificates will not be changed.

$N o w S u s a n s t a r t e d w i t h 13 h a m p e r s . S u s a n h a s 13 p i e c e o f $ 3 w o r t h g i f t$

$∴ S u s a n h a s 13 p i e c e o f $ 4 w o r t h g i f t ∴ S u s a n h a s 13 p i e c e o f $ 5 w o r t h g i f t ∴ P o s s i b l e s e t {5, 5, 3} {4, 4, 5}, (3, 3, 3, 4) i n w h i c h $ 5 c o n t a i n s i n f i r s t t w o o f t h e m a n d t h e t o t a l$

number is 13.

Now, let Susan creates

x hampers of {3, 3, 3, 4}

y hampers of {4,4,5}

And z hampers of {5, 5, 3}

Number of $3 gift will be, 3x + z =13.....(i)

$∴ N u m b e r o f $ 4 g i f t w i l l b e, x + 2 y = 13 . . . . . (i i)$

$∴ N u m b e r o f $ 5 g i f t w i l l b e, y + 2 z = 13 N o w, m u l t i p l y i n g e q u a t i o n (i i i) b y 2 a n d s u b t r a c t i n g (i i) f r o m (i i i) w e g e t,$

$\frac{2 y + 4 z = 26 x + 2 y = 13 - - -}{4 z - x = 13 . . . . . . . . . . . . . . . (i v)}$

$A g a i n, m u l t i p l y i n g e q u a t i o n (i) b y 4 a n d s u b t r a c t i n g e q u a t i o n (i v) f r o m (i) w e g e t \frac{12 x + 4 z = 52 4 z - x = 13}{13 x = 39} ∴ x = 3 H e r e, x i s t h e n u m b e r o f g i f t h a m p e r s w i t h o u t $ 5 c e r t i f i c a t e s . ∴ 3 g i f t h a m p e r s d i d n o t c o n t a i n $ 5 g i f t c e r t i f i c a t e s .$

PRONAY TIRKI

2 years ago

2.3k

MCQ: 108 CQ: 22

Practice

সমাবেশ (Combination)

কতকগুলো ব্স্তু থেকে প্রতিবারে কয়েকটি বা সবগুলোকে প্রতিবার নিয়ে যতগুলো দল গঠন করা যায় তাকে সমাবেশ বলে।

সমাবেশ হলো কয়েকটি উপাদান থেকে প্রত্যেকবার নির্দিষ্ট কিছু উপাদান নিয়ে এক একটি দল গঠন করা। এখানে ধারাবাহিকতা পরিবর্তন হলেও দলের সংখ্যা একই থাকবে।

সমাবেশের সূত্র: $n_{c_{r}} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ n! r!(n-r)! [বিন্যাসের সূত্রের মতই শুধু অতিরিক্ত হিসেবে হরের সাথে r! গুণ করতে হবে।]

বিন্যাস বনাম সমাবেশ (Permutation Vs Combination)

Combination এর ক্ষেত্রে Order (ধারাবাহিকতা) কোন Factor নয়। কিন্তু Permutation এর ক্ষেত্রে ধারাবাহিকতা গুরুত্বপূর্ণ এবং Order এর পরিবর্তন হলে সংখ্যারও পরিবর্তন হবে। যেমন: বিভিন্ন পরীক্ষার প্রশ্নে যখন এই দুটি অধ্যায় থেকে প্রশ্ন আসবে তখন লিখে দেয়া থাকবে না কোনটি বিন্যস এবং কোনটি সমাবেশ হবে। ভালোভাবে পার্থক্য না জানলে একটার জায়গায় অন্যটির উত্তর বের করে ফেলতে পারেন। তাই এদের মধ্যকার পার্থক্যগুলো নিচে ছক আকারে তুলে ধরা হল।

বিন্যাস ও সমাবেশের মধ্যকার মৌলিক পার্থক্য

(বিন্যাস) Permutation	(সমাবেশ) Combination
বিন্যাস হলো সাজানোর ধরণ অর্থাৎ কত ভাবে সাজানো যায় তা বের করা, এখানে ধারাবাহিকতা পরিবর্তন হলে নতুন বিন্যাস হয়।	আর সমাবেশ হলো বাছাই করা, কয়েকজন থেকে বাছাই করার সময় কে আগে আসলো কে পরে আসলো তা দেখার প্রয়োজন নেই অর্থাৎ এখানে ধারাবাহিকতা গুরুত্বপূর্ণ নয়।
বিন্যাসের সুত্র: $n_{P_{r}} = \frac{n!}{(n - r)!}$	সমাবেশের সূত্র: $n_{c_{r}} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ [বিন্যাসের সূত্রের মতই শুধু অতিরিক্ত হিসেবে হরের সাথে r! গুণ করতে হবে।]
বিন্যাসের উত্তর বড় হয়।	সমাবেশের উত্তর ছোট হয়।
রাকিব সামনে এবং রহিম পেছনে দাঁড়ানো অথবা রহিম সামনে রাকিব পেছনে দাঁড়ানো বোঝাতে দুটি ভিন্ন দাঁড়ানোর পদ্ধতি। অর্থাৎ সিরিয়াল পরিবর্তন হলে নতুন বিন্যাস হয়।	সমাবেশের ক্ষেত্রে বাংলাদেশ- ভারত আর ভারত বাংলাদেশ এর খেলা অর্থ দুটি খেলা না বরং একটি খেলা।
উদাহরণ: AB, BA, দুটি ভিন্ন বিন্যাস।	উদাহরণ: AB, BA উভয় মিলে একটি ই সমাবেশ।
বিন্যাস হয়: (i) অক্ষর সাজানোর প্রশ্নগুলোতে: যেমন: DHAKA (ii) সংখ্যা তৈরী করার প্রশ্নগুলোতে । যেমন: ১২৩,৩২১ (iii) যে কোন কিছুকে সাজাতে বলা হলে বিন্যাস করতে হয়।	সমাবেশ হয়: (i) হ্যান্ডশেক (ii) খেলা (iii) দল (iv) কমিটি (v) যে কোন কিছু বাছাই করার প্রশ্নগুলোতে সমাবেশের সূত্র প্রয়োগ করতে হয়।

করমর্দন ও খেলার সংখ্যা

এই পদ্ধতিতে আমার শিখবো হ্যান্ডশেক সংখ্যা বের করা এবং কিভাবে কয়েকজন খেলোয়াড়ের ভেতর থেকে কতভাবে একটি ক্রিকেট, ফুটবল,বাস্কেটবল অথবা যে কোন দল গঠন করা যায়। সাথে সাথে কিভাবে এবং কতভাবে একটি দলের অধিনায়ক অথবা সহ অধিনায়ক নির্বাচিত করা যায় । দল গঠনের সময় বিভিন্ন খেলোয়াড়ের নাম আগে অথবা পরে যখনই বলা হোক না কেন তারা একটি দলই বোঝাবে, তাই দল গঠনের অংক গুলো সমাবেশের সুত্রানুযায়ী করতে হয়।

কখন গুণ (×) আর কখন যোগ (+)

যখন একটির সাথে অন্যটি নির্ভরশীল থাকে তখন গুণ করতে হবে। (প্রশ্নে “এবং” থাকলে ‘গুণ” )

যেমন: মোট ৫ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলা থেকে ৫ জন সদস্য নিয়ে একটি কলেজের কমিটি গঠন করতে হবে যেখানে ২ জন মহিলা থাকবে ।

এখানে শুধু মহিলা বা শুধু পুরুষ নিয়ে কমিটি হবে না বরং পুরুষ ও মহিলা উভয়ে মিলে কমিটি হবে। অর্থাৎ একটার সাথে আরেকটা নির্ভরশীল । তাই এক্ষেত্রে গুণ করতে হবে $5_{c_{3}} \times 4_{c_{3}}$ = 10×6 = 60

কিন্তু একটির উপর আরেকটি নির্ভরশীল না হলে যোগ করতে হবে। (প্রশ্নে “অথবা” থাকলে 'যোগ' )

যেমন: একটি কলেজের কমিটি তৈরী করার উপায় আছে ২০টি আরেকটি ভিন্ন কলেজের কমিটি তৈরী করার উপায় আছে ১০টি। এখানে একটি কলেজের সাথে অন্য কলেজের কমিটির কোন নির্ভরশীলতা নেই, তাই এক্ষেত্রে মোট কমিটি সংখ্যা 20+10 = 30টি

Related Question

View All

(ক)

৫ জন মহিল ও ৪ জন পুরুষের মধ্য থেকে ২ জন পুরুষ এবং ১ জন মহিলা নিয়ে একটি দল কতভাবে বাছাই করা যেতে পারে?

BCS 40th BCS Written গণিত সমাবেশ (Combination)

489

Add Explanation

489

(খ)

১০টি জিনিসের মধ্যে ২টি একজাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন । ওই জিনিসগুলো থেকে প্রতিবার ৫টি নিয়ে কত ভিন্ন ভিন্ন প্রকারে বাছাই করা যায় নির্ণয় করুন।

BCS 40th BCS Written গণিত সমাবেশ (Combination)

382

উত্তরঃ

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী,

মোট জিনিস = ১০টি

একজাতীয় জিনিস (অভিন্ন) = ২টি

ভিন্ন ভিন্ন জিনিস = $10 - 2 = 8$টি

প্রতিবার ৫টি জিনিস বাছাই করতে হবে।

আমরা একজাতীয় জিনিস থেকে ০, ১ অথবা ২টি বাছাই করতে পারি। এর উপর ভিত্তি করে ভিন্ন ভিন্ন জিনিস থেকে বাকি জিনিসগুলো বাছাই করতে হবে।

ক্ষেত্র ১: একজাতীয় জিনিস থেকে ০টি এবং ভিন্ন ভিন্ন জিনিস থেকে ৫টি বাছাই করা।

একজাতীয় ২টি জিনিস থেকে ০টি বাছাই করার উপায় = $1$ (কারণ তারা অভিন্ন)

ভিন্ন ভিন্ন ৮টি জিনিস থেকে ৫টি বাছাই করার উপায় = $ \binom{8}{5} = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 $

সুতরাং, এই ক্ষেত্রে মোট উপায় = $1 \times 56 = 56$

ক্ষেত্র ২: একজাতীয় জিনিস থেকে ১টি এবং ভিন্ন ভিন্ন জিনিস থেকে ৪টি বাছাই করা।

একজাতীয় ২টি জিনিস থেকে ১টি বাছাই করার উপায় = $1$ (কারণ তারা অভিন্ন)

ভিন্ন ভিন্ন ৮টি জিনিস থেকে ৪টি বাছাই করার উপায় = $ \binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70 $

সুতরাং, এই ক্ষেত্রে মোট উপায় = $1 \times 70 = 70$

ক্ষেত্র ৩: একজাতীয় জিনিস থেকে ২টি এবং ভিন্ন ভিন্ন জিনিস থেকে ৩টি বাছাই করা।

একজাতীয় ২টি জিনিস থেকে ২টি বাছাই করার উপায় = $1$ (কারণ তারা অভিন্ন)

ভিন্ন ভিন্ন ৮টি জিনিস থেকে ৩টি বাছাই করার উপায় = $ \binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 $

সুতরাং, এই ক্ষেত্রে মোট উপায় = $1 \times 56 = 56$

সর্বমোট বাছাই করার ভিন্ন ভিন্ন প্রকার = ক্ষেত্র ১ + ক্ষেত্র ২ + ক্ষেত্র ৩

= $56 + 70 + 56$

= $182$

Satt AI

11 hours ago

382

(খ)

COMBINATION শব্দটি হতে ৪ অক্ষর বিশিষ্ট সম্ভাব্য সমাবেশ নির্ণয় করুন।

BCS 38th BCS Written গণিত সমাবেশ (Combination)

1.5k

Add Explanation

1.5k

(d)

In how many ways 50 people can be divided into 3 groups, so that cache group contains members equal to a prime number?

PKB PKB Officer গণিত সমাবেশ (Combination)

644

উত্তরঃ

$H e r e, c l e a r l y t h e s u m o f a l l t h r e e g r o u p s i s 50 . W e k n o w, s u m o f t h r e e o d d n u m b e r s c a n n o t b e 50 . T h e r e f o r e, w e n e e d o n e e v e n p r i m e i n t e g e r, H e r e, t h e o n l y p r i m e e v e n i n t e g e r i s 2 . T h e r e f o r e, o n e g r o u p h a s 2 p e o p l e N o w, w e h a v e t o a l l o t r e m a i n i n g 48 p e o p l e i n t w o o d d n u m b e r g r o u p . A v a i l a b l e c o m b i n a t i o n b e (i) 2, 5, 43 (i i) 2, 7, 41 (i i i) 2, 11, 37 (i v) 2, 17, 31 (v) 2, 19, 29 ∴ T h e r e a r e f i v e w a y s w e c a n d i v i d e 50 p e o p l e i n t o t h r e e g r o u p s, s o t h a t e a c h g r o u p c o n t a i n s m e m b e r s e q u a l t o a p r i m e n u m b e r . a n s w e r : 5 w a y s .$

PRONAY TIRKI

2 years ago

644

(f)

A committee is to consist of three members. If there are seven men and five women available to serve on the committee, how many different committees can be formed?

(Permutation & Combination)

Krishi Bank BKB Officer (Cash) - 2018 গণিত 2018 সমাবেশ (Combination)

725

উত্তরঃ

Committee members will be 3

Available men = 7 & Available women = 5

So, the combinations can be

$i) 7 c_{3} \times 5 c_{0} = 35 \times 1 = 35$ i) 7c₃	$i i) 7 c_{2} \times 5 c_{1} = 21 \times 5 = 105$
$i i i) 7 c_{1} \times 5 c_{2} = 7 \times 10 = 70$	$i v) 7 c_{0} \times 5 c_{3} = 1 \times 10 = 10$

So, total combinations = 35 + 105 + 70 + 10 = 220 ways. ans.

Tamanna

2 years ago

725

(b)

A committee of 5 is to be formed from 6 male students and 5 female students. In how many ways can this be done so that the committee contains at least one male and one female student?

(Permutation & Combination)

Rupali Bank Rupali Officer (Cash) - 2018 গণিত 2018 সমাবেশ (Combination)

447

Add Explanation

447

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

Related Question

Related Question

Promotion