Three cars leave A and B in equal time intervals. They reach B simultaneously and then leave for Point C which is 240km away from B. The first car arrives at C an hour after the second car. The third car, having reached C, immediately turns back and heads towards B. The first and the third car meet a point that is 80km away from C. What is the difference between the speed of the first and the third car? (Ratio)

x + 1/x = 3

⇒ x²+ 1/x = 3

⇒ x² + 1 = 3x

⇒ x² - 3x + 1 = 0

⇒ x² -3 . x . 1 + 1² = 0

⇒ (x-1)² = 0

⇒ x - 1 = 0

x = 1

প্রদত্ত রাশি,

x⁹ + 1/x⁹

= 1⁹ + 1/1⁹

= 1 + 1/1

= 1 + 1/1

= 2/1

= 2 (Answer)

প্রদত্ত সমীকরণগুলো হলো:

    \[x+y=1 \quad \text{(1)}\]     \[kx+y=2 \quad \text{(2)}\]     \[x+ky=3 \quad \text{(3)}\]

ধাপ ১: সমীকরণ (1) থেকে y এর মান x এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।

    \[y=1-x \quad \text{(4)}\]

ধাপ ২: সমীকরণ (4) থেকে প্রাপ্ত y এর মান সমীকরণ (2) এ বসাই।

    \[kx+(1-x)=2\]     \[kx-x=2-1\]     \[x(k-1)=1\]

যদি \(k=1\) হয়, তবে \(x(1-1)=1\) অর্থাৎ \(0=1\), যা অসম্ভব। সুতরাং, \(k \neq 1\)।

    \[x=\frac{1}{k-1} \quad \text{(5)}\]

ধাপ ৩: সমীকরণ (5) থেকে প্রাপ্ত x এর মান সমীকরণ (4) এ বসিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

    \[y=1-x\]     \[y=1-\frac{1}{k-1}\]     \[y=\frac{(k-1)-1}{k-1}\]     \[y=\frac{k-2}{k-1} \quad \text{(6)}\]

ধাপ ৪: সমীকরণ (5) এবং (6) থেকে প্রাপ্ত x ও y এর মান সমীকরণ (3) এ বসাই।

    \[x+ky=3\]     \[\frac{1}{k-1}+k\left(\frac{k-2}{k-1}\right)=3\]

উভয় পক্ষকে \((k-1)\) দ্বারা গুণ করে পাই (যেহেতু \(k \neq 1\)):

    \[1+k(k-2)=3(k-1)\]     \[1+k^2-2k=3k-3\]

ধাপ ৫: সমীকরণটিকে সমাধান করে k এর মান নির্ণয় করি।

    \[k^2-2k-3k+1+3=0\]     \[k^2-5k+4=0\]

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সমাধান করি।

    \[k^2-4k-k+4=0\]     \[k(k-4)-1(k-4)=0\]     \[(k-1)(k-4)=0\]

সুতরাং, \(k-1=0\) অথবা \(k-4=0\)

    \[k=1 \quad \text{অথবা} \quad k=4\]

ধাপ ৬: প্রাপ্ত k এর মানগুলো যাচাই করি।

আমরা আগেই দেখেছি যে, যদি \(k=1\) হয়, তবে \(0=1\) হয় যা অসম্ভব। অর্থাৎ, \(k=1\) হলে প্রদত্ত সমীকরণগুলোর কোনো সমাধান থাকে না।

সুতরাং, \(k=1\) গ্রহণযোগ্য নয়।

অতএব, k এর একমাত্র গ্রহণযোগ্য মান হলো \(k=4\)।

প্রদত্ত রাশিটি হলো:

এটি একটি দ্বিঘাত সমমাত্রিক রাশি (homogeneous quadratic expression)। এই ধরনের রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার জন্য মধ্যপদকে (middle term) এমন দুটি পদে বিভক্ত করতে হয় যাদের গুণফল প্রথম ও শেষ পদের সহগের গুণফলের সমান এবং যোগফল মধ্যপদের সহগের সমান।

১. এখানে,

    
• প্রথম পদের সহগ (coefficient) হলো \((a-1)\)।
    
• শেষ পদের সহগ হলো \((a+1)\)।
    
• মধ্যপদের সহগ হলো \(a^2\)।

২. প্রথম ও শেষ পদের সহগের গুণফল নির্ণয় করি:

৩. এখন, আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল \((a^2 - 1)\) এবং যোগফল \(a^2\)।

এই সংখ্যা দুটি হলো \((a^2 - 1)\) এবং \(1\)।

কারণ, \((a^2 - 1) \times 1 = a^2 - 1\) এবং \((a^2 - 1) + 1 = a^2\)।

৪. মধ্যপদ \(a^2xy\) কে \((a^2-1)xy + xy\) আকারে বিভক্ত করা যাক:

৫. এখন, পদগুলোকে জোড়ায় জোড়ায় ভাগ করে সাধারণ উৎপাদক (common factor) নেওয়া যাক:

প্রথম দুটি পদ থেকে \(x\) কমন নেওয়া যায়:

শেষ দুটি পদ থেকে \(y\) কমন নেওয়া যায়:

সুতরাং, রাশিটি দাঁড়ায়:

৬. আমরা জানি, \((a^2-1)\) কে \((a-1)(a+1)\) আকারে লেখা যায়। এই মানটি প্রতিস্থাপন করি:

৭. প্রথম বন্ধনীর ভেতর থেকে \((a-1)\) কমন নেওয়া যাক:

৮. এখন, \(\{x + (a+1)y\}\) উভয় পদে একটি সাধারণ উৎপাদক। এই সাধারণ উৎপাদকটি কমন নেওয়া যাক:

৯. সুতরাং, প্রদত্ত রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণকৃত রূপটি হলো: