প্রশ্নে বলা হচ্ছে যে, চিত্রকর্ম প্রদর্শনীর জন্য শিল্পকলার ছাত্রদের মধ্যে নিচের মতো করে চিত্রাঙ্কনের দায়িত্ব দেয়া হলোঃ অংশ ছাত্রকে ভাস্কর্য , অংশ ছাত্রকে তৈলকর্ম অংশ ছাত্রকে পানির রং এবং বাকি 10 টি চিত্রকর্ম মোজাইকের । ঐ শ্রেণিতে কতজন ছাত্র রয়েছে?
Let, x students are in the art class
So, number of students are sculptures
∴ Number of students are oil paintings
∴ Number of students are water colours
Remaining students
According to the question
Hence, 240 students are in the art class.
| এই সকল অঙ্কের ক্ষেত্রে পুরো সংখ্যা x ধরে করলে সহজেই উত্তর পাওয়া যায়। মূলত ভগ্নাংশের অঙ্কগুলো এভাবেই করতে হয় । |
Related Question
View Allx + 1/x = 3
⇒ x2+ 1/x = 3
⇒ x2 + 1 = 3x
⇒ x2 - 3x + 1 = 0
⇒ x2 -3 . x . 1 + 12 = 0
⇒ (x-1)2 = 0
⇒ x - 1 = 0
x = 1
প্রদত্ত রাশি,
x9 + 1/x9
= 19 + 1/19
= 1 + 1/1
= 1 + 1/1
= 2/1
= 2 (Answer)
প্রদত্ত সমীকরণগুলো হলো:
\[x+y=1 \quad \text{(1)}\] \[kx+y=2 \quad \text{(2)}\] \[x+ky=3 \quad \text{(3)}\]
ধাপ ১: সমীকরণ (1) থেকে y এর মান x এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।
\[y=1-x \quad \text{(4)}\]
ধাপ ২: সমীকরণ (4) থেকে প্রাপ্ত y এর মান সমীকরণ (2) এ বসাই।
\[kx+(1-x)=2\] \[kx-x=2-1\] \[x(k-1)=1\]
যদি \(k=1\) হয়, তবে \(x(1-1)=1\) অর্থাৎ \(0=1\), যা অসম্ভব। সুতরাং, \(k \neq 1\)।
\[x=\frac{1}{k-1} \quad \text{(5)}\]
ধাপ ৩: সমীকরণ (5) থেকে প্রাপ্ত x এর মান সমীকরণ (4) এ বসিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।
\[y=1-x\] \[y=1-\frac{1}{k-1}\] \[y=\frac{(k-1)-1}{k-1}\] \[y=\frac{k-2}{k-1} \quad \text{(6)}\]
ধাপ ৪: সমীকরণ (5) এবং (6) থেকে প্রাপ্ত x ও y এর মান সমীকরণ (3) এ বসাই।
\[x+ky=3\] \[\frac{1}{k-1}+k\left(\frac{k-2}{k-1}\right)=3\]
উভয় পক্ষকে \((k-1)\) দ্বারা গুণ করে পাই (যেহেতু \(k \neq 1\)):
\[1+k(k-2)=3(k-1)\] \[1+k^2-2k=3k-3\]
ধাপ ৫: সমীকরণটিকে সমাধান করে k এর মান নির্ণয় করি।
\[k^2-2k-3k+1+3=0\] \[k^2-5k+4=0\]
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সমাধান করি।
\[k^2-4k-k+4=0\] \[k(k-4)-1(k-4)=0\] \[(k-1)(k-4)=0\]
সুতরাং, \(k-1=0\) অথবা \(k-4=0\)
\[k=1 \quad \text{অথবা} \quad k=4\]
ধাপ ৬: প্রাপ্ত k এর মানগুলো যাচাই করি।
আমরা আগেই দেখেছি যে, যদি \(k=1\) হয়, তবে \(0=1\) হয় যা অসম্ভব। অর্থাৎ, \(k=1\) হলে প্রদত্ত সমীকরণগুলোর কোনো সমাধান থাকে না।
সুতরাং, \(k=1\) গ্রহণযোগ্য নয়।
অতএব, k এর একমাত্র গ্রহণযোগ্য মান হলো \(k=4\)।
প্রদত্ত রাশিটি হলো:
\[ (a-1)x^2 + a^2xy + (a+1)y^2 \]এটি একটি দ্বিঘাত সমমাত্রিক রাশি (homogeneous quadratic expression)। এই ধরনের রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার জন্য মধ্যপদকে (middle term) এমন দুটি পদে বিভক্ত করতে হয় যাদের গুণফল প্রথম ও শেষ পদের সহগের গুণফলের সমান এবং যোগফল মধ্যপদের সহগের সমান।
১. এখানে,
- প্রথম পদের সহগ (coefficient) হলো \((a-1)\)।
- শেষ পদের সহগ হলো \((a+1)\)।
- মধ্যপদের সহগ হলো \(a^2\)।
২. প্রথম ও শেষ পদের সহগের গুণফল নির্ণয় করি:
\[ (a-1)(a+1) = a^2 - 1 \]৩. এখন, আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল \((a^2 - 1)\) এবং যোগফল \(a^2\)।
এই সংখ্যা দুটি হলো \((a^2 - 1)\) এবং \(1\)।
কারণ, \((a^2 - 1) \times 1 = a^2 - 1\) এবং \((a^2 - 1) + 1 = a^2\)।
৪. মধ্যপদ \(a^2xy\) কে \((a^2-1)xy + xy\) আকারে বিভক্ত করা যাক:
\[ (a-1)x^2 + (a^2-1)xy + xy + (a+1)y^2 \]৫. এখন, পদগুলোকে জোড়ায় জোড়ায় ভাগ করে সাধারণ উৎপাদক (common factor) নেওয়া যাক:
প্রথম দুটি পদ থেকে \(x\) কমন নেওয়া যায়:
\[ x \{(a-1)x + (a^2-1)y\} \]শেষ দুটি পদ থেকে \(y\) কমন নেওয়া যায়:
\[ y \{x + (a+1)y\} \]সুতরাং, রাশিটি দাঁড়ায়:
\[ x \{(a-1)x + (a^2-1)y\} + y \{x + (a+1)y\} \]৬. আমরা জানি, \((a^2-1)\) কে \((a-1)(a+1)\) আকারে লেখা যায়। এই মানটি প্রতিস্থাপন করি:
\[ x \{(a-1)x + (a-1)(a+1)y\} + y \{x + (a+1)y\} \]৭. প্রথম বন্ধনীর ভেতর থেকে \((a-1)\) কমন নেওয়া যাক:
\[ x (a-1) \{x + (a+1)y\} + y \{x + (a+1)y\} \]৮. এখন, \(\{x + (a+1)y\}\) উভয় পদে একটি সাধারণ উৎপাদক। এই সাধারণ উৎপাদকটি কমন নেওয়া যাক:
\[ \{x + (a+1)y\} \{x(a-1) + y\} \]৯. সুতরাং, প্রদত্ত রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণকৃত রূপটি হলো:
\[ \{x + (a+1)y\} \{(a-1)x + y\} \]
১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!
শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!
Related Question
Complete Exam
Preparation
Learn, practice, analyse and improve
