X ও Y পাম্প দ্বারা B কুয়াকে একই সময়ে পানিশূন্য করা যাবে কি-না? গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও। (উচ্চতর দক্ষতা)

উদ্দীপকের তথ্যের ভিত্তিতে X ও Y পাম্প দ্বারা B কুয়াকে একই সময়ে পানিশূন্য করা যাবে কি-না তা গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে নির্ণয় করা হলো:

X পাম্পের ক্ষমতা নির্ণয় এবং B কুয়া পানিশূন্য করতে প্রয়োজনীয় সময়:

প্রথমে A কুয়াকে পানিশূন্য করতে X পাম্পের কার্যকর ক্ষমতা (Output Power) নির্ণয় করতে হবে।

A কুয়ার গভীরতা \(h_A = 12 \, m\)

A কুয়ার ব্যাস \(d_A = 1.8 \, m\), সুতরাং ব্যাসার্ধ \(r_A = 0.9 \, m\)

A কুয়ার আয়তন \(V_A = \pi r_A^2 h_A = \pi (0.9)^2 \times 12 = 9.72\pi \, m^3\)

A কুয়া থেকে পানি তুলতে মোট কাজ \(W_A = \rho g V_A \frac{h_A}{2}\)

এখানে, পানির ঘনত্ব \(\rho = 1000 \, kg/m^3\), অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g = 9.8 \, m/s^2\)

\(W_A = 1000 \times 9.8 \times 9.72\pi \times \frac{12}{2} = 9800 \times 9.72\pi \times 6 = 571440\pi \, J \approx 1.795 \times 10^6 \, J\)

X পাম্প A কুয়াকে পানিশূন্য করতে সময় নেয় \(t_X = 24\) মিনিট = \(24 \times 60 = 1440 \, s\)

X পাম্পের কার্যকর ক্ষমতা \(P_{X,out} = \frac{W_A}{t_X} = \frac{571440\pi}{1440} = 396.83\pi \, W \approx 1246.6 \, W\)

এখন, B কুয়াকে পানিশূন্য করতে X পাম্পের প্রয়োজনীয় সময় নির্ণয় করা যাক:

B কুয়ার গভীরতা \(h_B = 10 \, m\)

B কুয়ার ব্যাস \(d_B = 2 \, m\), সুতরাং ব্যাসার্ধ \(r_B = 1 \, m\)

B কুয়ার আয়তন \(V_B = \pi r_B^2 h_B = \pi (1)^2 \times 10 = 10\pi \, m^3\)

B কুয়া থেকে পানি তুলতে মোট কাজ \(W_B = \rho g V_B \frac{h_B}{2}\)

\(W_B = 1000 \times 9.8 \times 10\pi \times \frac{10}{2} = 9800 \times 10\pi \times 5 = 490000\pi \, J \approx 1.539 \times 10^6 \, J\)

X পাম্প দ্বারা B কুয়া পানিশূন্য করতে প্রয়োজনীয় সময় \(t_{X,B} = \frac{W_B}{P_{X,out}} = \frac{490000\pi}{396.83\pi} = \frac{1539380}{1246.6} \approx 1234.8 \, s\)

\(t_{X,B} \approx \frac{1234.8}{60} \approx 20.58 \, \text{মিনিট}\)

Y পাম্প দ্বারা B কুয়া পানিশূন্য করতে প্রয়োজনীয় সময়:

Y পাম্পের ক্ষমতা \(P_Y = 2.4 \, H.P. = 2.4 \times 746 \, W = 1790.4 \, W\)

Y পাম্পের কর্মদক্ষতা \(\eta_Y = 60\% = 0.6\)

Y পাম্পের কার্যকর ক্ষমতা \(P_{Y,out} = P_Y \times \eta_Y = 1790.4 \times 0.6 = 1074.24 \, W\)

Y পাম্প দ্বারা B কুয়া পানিশূন্য করতে প্রয়োজনীয় সময় \(t_{Y,B} = \frac{W_B}{P_{Y,out}} = \frac{490000\pi}{1074.24} = \frac{1539380}{1074.24} \approx 1433.02 \, s\)

\(t_{Y,B} \approx \frac{1433.02}{60} \approx 23.88 \, \text{মিনিট}\)

গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক মতামত:

আমরা দেখেছি যে, X পাম্প দ্বারা B কুয়া পানিশূন্য করতে সময় লাগে প্রায় \(1234.8 \, s\) (বা \(20.58\) মিনিট) এবং Y পাম্প দ্বারা B কুয়া পানিশূন্য করতে সময় লাগে প্রায় \(1433.02 \, s\) (বা \(23.88\) মিনিট)। যেহেতু \(t_{X,B} \neq t_{Y,B}\), তাই X ও Y পাম্প দ্বারা B কুয়াকে একই সময়ে পানিশূন্য করা সম্ভব নয়। X পাম্পটি B কুয়াকে Y পাম্পের চেয়ে দ্রুত পানিশূন্য করতে পারে।