x = 0 এবং x = 1 বিন্দুতে $f:R\to R$ ফাংশনটির অবিচ্ছিন্নতা আলোচনা করুন। যেখানে, $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{lll}{x}^2+1& যখন& x<0\\ x& যখন& 0\le x\le 1\\ \frac{1}{x}& যখন& x>1\end{array}\right.$

ফাংশন হলো এমন একটি বিশেষ অন্বয় যেখানে একটি সেটের প্রতিটি উপাদানের জন্য অপর সেটে ঠিক একটি নির্দিষ্ট উপাদান নির্ধারিত থাকে।

মৌলিক ধারণা

যদি A এবং B দুটি সেট হয়, তবে A থেকে B তে একটি ফাংশন বলতে বোঝায় A-এর প্রতিটি উপাদানের সাথে B-এর ঠিক একটি উপাদানের সম্পর্ক স্থাপন।

প্রতীক

ফাংশনকে সাধারণত f, g, h ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

গাণিতিক প্রকাশ

$f:A\to B$

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A=\{1,2,3\}$

এবং একটি ফাংশন f সংজ্ঞায়িত করা হলো:

f(x) = x + 1

তাহলে,

$f=\left\{\right(1,2),(2,3),(3,4\left)\right\}$

ফাংশনের শর্ত

• A-এর প্রতিটি উপাদানের জন্য একটি মাত্র মান থাকবে
• একটি ইনপুটের একাধিক আউটপুট থাকতে পারবে না
• একটি আউটপুট একাধিক ইনপুটের হতে পারে

ফাংশনের উপাদান

• ডোমেইন (Domain): ইনপুট সেট A
• কো-ডোমেইন (Codomain): সেট B
• রেঞ্জ (Range): প্রকৃত আউটপুটগুলোর সেট

উদাহরণ

f(x) = 2x হলে,

$f\left(2\right)=4$

বৈশিষ্ট্য

• ফাংশন একটি বিশেষ অন্বয়
• প্রতিটি ইনপুটের একটি নির্দিষ্ট আউটপুট থাকে
• গ্রাফ আকারে প্রকাশ করা যায়
• গণিত ও বিজ্ঞানে গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার আছে

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ফাংশন মানে হলো “প্রতিটি ইনপুটের জন্য ঠিক একটি আউটপুট নির্ধারণ”।

মনে রাখার উপায়

“এক ইনপুট → এক আউটপুট = ফাংশন” — এই নিয়ম মনে রাখলে সহজে বোঝা যায়।

নিচের A ও B সেটের অন্বয় লক্ষ করি :

যখন y = x + 2, তখন

x = 1 হলে, y = 3

x = 2 হলে, y = 4

x = 3 হলে, y = 5

অর্থাৎ x এর একটি মানের জন্য y এর মাত্র একটি মান পাওয়া যায় এবং x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক তৈরি হয় y = x + 2 দ্বারা। সুতরাং দুইটি চলক x এবং y এমনভাবে সম্পর্কযুক্ত যেন x এর যেকোনো একটি মানের জন্য y এর একটি মাত্র মান পাওয়া যায়, তবে y কে c এর ফাংশন বলা হয়। এর ফাংশনকে সাধারণত y, f(x), g(x), F(x) ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মনে করি, $y=x^2-2x+3$ একটি ফাংশন। এখানে, x এর যে কোনো একটি মানের জন্য y এর একটি মাত্র মান পাওয়া যাবে। এখানে, x এবং y উভয়ই চলক তবে, x এর মানের উপর y এর মান নির্ভরশীল। কাজেই x হচ্ছে স্বাধীন চলক এবং y হচ্ছে অধীন চলক।

উদাহরণ ১. $f\left(x\right)=x^2-4x+3$ হলে, f(−1) নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^2-4x+3$

$\therefore ƒ(-1)=(-1)²- 4(-1)+3=1+4+3=8$

উদাহরণ ২. যদি $g\left(x\right)=x^3+a{x}^2–3x–6$ হয় তবে a এর কোন মানের জন্য g(-2) = 0?

সমাধান : দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=x^3+a{x}^2–3x–6$

$\therefore g(-2) = {(-2)}^3+a{(-2 )}^2–3(-2) – 6$

= 8 + 4a + 6 6 = 4a - 8

প্রশ্নানুসারে g(-2) = 0

$\therefore$ 4a – 8 = 0 বা, 4a = 8 বা, a = 2

$\therefore$ a = 2 হলে, g(-2) = 0