$x^2+ x (a + 1) (a + 2)$

(উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন)

দেওয়া আছে:

\(a^4 - 4a + 3\)

এই রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।

ধরি, \(P(a) = a^4 - 4a + 3\)

আমরা \(a=1\) বসিয়ে পরীক্ষা করি:

\(P(1) = 1^4 - 4(1) + 3\)

\(P(1) = 1 - 4 + 3\)

\(P(1) = 0\)

যেহেতু \(P(1) = 0\), উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) অনুযায়ী \((a-1)\) প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক।

এখন, রাশিটিকে \((a-1)\) আকারে সাজিয়ে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:

\(a^4 - 4a + 3\)

\(= a^4 - a^3 + a^3 - a^2 + a^2 - a - 3a + 3\)

\(= a^3(a - 1) + a^2(a - 1) + a(a - 1) - 3(a - 1)\)

\(= (a - 1)(a^3 + a^2 + a - 3)\)

এখন, \(Q(a) = a^3 + a^2 + a - 3\) রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।

আমরা আবার \(a=1\) বসিয়ে পরীক্ষা করি:

\(Q(1) = 1^3 + 1^2 + 1 - 3\)

\(Q(1) = 1 + 1 + 1 - 3\)

\(Q(1) = 0\)

যেহেতু \(Q(1) = 0\), তাই \((a-1)\) রাশি \(Q(a)\) এরও একটি উৎপাদক।

এখন, \(a^3 + a^2 + a - 3\) কে \((a-1)\) দ্বারা ভাগ করে পাই:

\(a^3 + a^2 + a - 3\)

\(= a^3 - a^2 + 2a^2 - 2a + 3a - 3\)

\(= a^2(a - 1) + 2a(a - 1) + 3(a - 1)\)

\(= (a - 1)(a^2 + 2a + 3)\)

অতএব, মূল রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো:

\((a - 1) \cdot (a - 1)(a^2 + 2a + 3)\)

\(= (a - 1)^2 (a^2 + 2a + 3)\)

এখন, \(a^2 + 2a + 3\) এর উৎপাদক বিশ্লেষণ পরীক্ষা করি।

একটি দ্বিঘাত রাশি \(ax^2 + bx + c\) এর নিরূপক (discriminant) \(\Delta = b^2 - 4ac\)।

এখানে \(a=1, b=2, c=3\)।

\(\Delta = 2^2 - 4(1)(3)\)

\(\Delta = 4 - 12\)

\(\Delta = -8\)

যেহেতু নিরূপক \(\Delta < 0\), তাই \(a^2 + 2a + 3\) এর কোনো বাস্তব উৎপাদক নেই।

সুতরাং, চূড়ান্ত উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো:

\((a - 1)^2 (a^2 + 2a + 3)\)