$\frac{x^2+4x-7}{f\left(x\right)}$ কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

(প্রয়োগ)

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত $f\left(x\right)$ ফাংশনটি হলো $f\left(x\right)=x^3+x^2+4x+4$। এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:

    \(f(x) = x^3+x^2+4x+4\)
    \(= x^2(x+1) + 4(x+1)\)
    \(= (x+1)(x^2+4)\)

এখন, \( \frac{x^2+4x-7}{f(x)} \) কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করার জন্য আমরা \( \frac{x^2+4x-7}{(x+1)(x^2+4)} \) এর আংশিক ভগ্নাংশের রূপ ধরে নিই। যেহেতু \( (x+1) \) একটি একঘাত উৎপাদক এবং \( (x^2+4) \) একটি দ্বিঘাত উৎপাদক যা বাস্তব সংখ্যায় উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায় না, তাই আমরা লিখতে পারি:

    \( \frac{x^2+4x-7}{(x+1)(x^2+4)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+4} \)
    উভয়পক্ষকে \( (x+1)(x^2+4) \) দ্বারা গুণ করে পাই:
    \( x^2+4x-7 = A(x^2+4) + (Bx+C)(x+1) \) ..........(i)

    \( (i) \) নং সমীকরণে \( x = -1 \) বসিয়ে পাই:
    \( (-1)^2+4(-1)-7 = A((-1)^2+4) + (B(-1)+C)(-1+1) \)
    \( 1-4-7 = A(1+4) + 0 \)
    \( -10 = 5A \)
    \( A = -2 \)

    \( (i) \) নং সমীকরণকে \( x^2 \) , \( x \) এবং ধ্রুবক পদের সহগ সমীকৃত করে পাই:
    \( x^2+4x-7 = Ax^2+4A+Bx^2+Bx+Cx+C \)
    \( x^2+4x-7 = (A+B)x^2 + (B+C)x + (4A+C) \)

    \( x^2 \) এর সহগ সমীকৃত করে:
    \( 1 = A+B \)
    \( 1 = -2+B \)
    \( B = 3 \)

    \( x \) এর সহগ সমীকৃত করে:
    \( 4 = B+C \)
    \( 4 = 3+C \)
    \( C = 1 \)

    সুতরাং, \( A = -2, B = 3, C = 1 \) এর মান বসিয়ে পাই:
    \( \frac{x^2+4x-7}{(x+1)(x^2+4)} = \frac{-2}{x+1} + \frac{3x+1}{x^2+4} \)
    অতএব, \( \frac{x^2+4x-7}{f(x)} = \frac{3x+1}{x^2+4} - \frac{2}{x+1} \)