$x^2+y^2= 61$ এবং xy= - 30 দুইটি সমীকরণ।

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় $x^2+y^2=61$

এবং xy = - 30 হচ্ছে x ও y চলকবিশিষ্ট সমীকরণ।

$x^2+y^2=61$ ……………… (1)

xy = - 30 ……………… (2)

(2) কে 2 দ্বারা গুণ করে (1) থেকে বিয়োগ করলে আমরা পাই,

$(x-y{)}^2=121$

বা, $x - y =\pm 11$……………… (3)

আবার, (2)নং কে 2 দ্বারা গুণ করে (1) নং এর সাথে যোগ করে পাই,

$(x+y{)}^2=1$

বা, $x + y =\pm 1$……………… (4)

(3) ও (4) থেকে,

সমাধান করে পাই,

(5) থেকে, x = 6, y = - 5

(6) থেকে, x = - 5, y = 6

(7) থেকে, x = 5, y =-6

(৪) থেকে, x = - 6, y = 5

নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (6, - 5), (- 5, 6), (5, - 6), (- 6, 5)

'খ'-এর বিকল্প পদ্ধতিতে প্রদত্ত সমীকরণ জোটের সমাধান নির্ণয় :

$x^2+y^2=61$ …………….. (1)

xy = - 30 …………….. (2)

(2) নং হতে পাই, xy = - 30

বা, $y=\frac{-30}{x}$ …………….. (3)

y-এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, $x^2+{\left(\frac{-30}{x}\right)}^2=61$

বা, $x^2+\frac{900}{x^2}=61$

বা, $\frac{x^4+900}{x^2}=61$

বা, $x^4+900=61x^2$

বা, $x^4-61x^2+900=0$

বা, $x^4-36x^2-25x^2+900=0$

বা, $x^2(x^2-36)-25(x^2-36)=0$

বা, $(x^2-36)(x^2-25)=0$

বা, $x^2-36=0$

বা, $x^2=36$

বা, $x=\pm 6$

অথবা, $x^2-25=0$

বা, $x^2=25$

বা, $x=\pm 5$

(3) নং সমীকরণ হতে পাই,

যখন, x = 6 তখন, $y=\frac{-30}{6}=-5$

যখন, x = - 6 তখন, $y=\frac{-30}{-6}=5$

যখন, x = 5 তখন, $y=\frac{-30}{5}=-6$

যখন, x = - 5 তখন, $y=\frac{-30}{-5}=6$

নির্ণেয় সমাধান, (x, y) = (6, - 5), (- 6, 5), (5, - 6), (- 5, 6)