$\frac{x^{3}y+xy}{x^2{y}^3+x^3{y}^2}$

(লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ কর)

প্রদত্ত ভগ্নাংশটি 4x²y³z⁵ / 9x⁵y z²

এখানে, 4 ও 9 এর গ.সা.গু. হলো ১।

x² ও x⁵ এর গ.সা.গু. হলো x²

y³ ও y এর গ.সা.গু. হলো y

z⁵ ও z² এর গ.সা.গু. হলো z²

∴ 4x²y³z⁵ ও 9x⁵y z² এর গ.সা.গু. হলো x²y z²

4x²y³z⁵ / 9x⁵y z² এর লব ও হরকে x²y z² দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায় 4y²z³ / 9x³

∴ এর সরলীকরণ হলো 4y² / 9x³ (Ans.)

প্রদত্ত ভগ্নাংশটি 16(2x)⁴ (3y)⁵ / (3x)³.(2y)⁶

এখানে, লব = 16(2x)⁴(3y)⁵ = 16.(2)⁴.(x)⁴.(3)⁵.(y)⁵
= (2)⁸.(3)⁵.x⁴.y⁵ [∵ 16 = 2⁴]

হর = (3x)³.(2y)⁶ = (3)³.(x)³.(2)⁶.(y)⁶
= (2)⁶.(3)³.x³.y⁶

∴ লব ও হরের গ.সা.গু. = (2)⁶.(3)³.x³.y⁵

প্রদত্ত ভগ্নাংশটির লব ও হরকে 2⁶.3³.x³.y⁵ দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায়
2².3².x / y বা, 36x / y

∴ ভগ্নাংশটির সরলীকৃত রূপ 36x / y (Ans.)

সমাধান: প্রাপ্ত ভগ্নাংশটি
(a - b) (a + b)

a³ - b

এখানে, নব = (a - b)(a + b)
হর = a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

তাই, এবং গ.সা.গু. = (a - b)

প্রাপ্ত ভগ্নাংশটির নব ও হরকে (a - b) দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায়  $\frac{a + b}{a² + ab + b²}$

ভগ্নাংশটির লাঘিষ্ঠরূপ:
$\frac{a + b}{a² + ab + b²}$

নির্ণেয় ভগ্নাংশগুলোঃ $\frac{x^2}{xy},\frac{y^2}{yz},\frac{z^2}{zx}$

$$\begin{gathered} xy,yz zx =xyz\therefore \frac{x^2}{xy}=\frac{x^2\times z}{xy\times z}=\frac{x^{2}z}{xyz}\therefore \frac{y^2}{yz}=\frac{y^2\times x}{yz\times x}=\frac{x{y}^2}{xyz}\therefore \frac{z^2}{zx}=\frac{z^2\times y}{zx\times y}=\frac{y{z}^2}{xyz} \\ \therefore \frac{x^{2}z}{xyz},\frac{x{y}^2}{xyz}\frac{y{z}^2}{xyz} \end{gathered}$$

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো $\frac{x-y}{xy},\frac{y-z}{yz},\frac{z-x}{zx}$

এখানে, হর xy, yz এবং zx এর ল. সা. গু. = xyz

অতএব, ১ম ভগ্নাংশ= $\frac{x-y}{xy}=\frac{(x-y)z}{xyz}=\frac{z(x-y)}{xyz}$

২য় ভগ্নাংশ = $\frac{y-z}{yz}=\frac{(y-z)x}{yzx}=\frac{x(y-z)}{xyz}$

৩য় ভগ্নাংশ = $\frac{z-x}{zx}=\frac{(z-x)y}{zxy}= \frac{y(z-x)}{xyz}$

$\therefore$ নির্ণেয় ভগ্নাংশগুলো= $\frac{z(x-y)}{xyz}$,$\frac{x(y-z)}{xyz}$,$\frac{y(z-x)}{xyz}$

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো = $\frac{x}{x-y},\frac{y}{x+y},\frac{z}{x(x+y)}$

এখানে, হর  x - y, x+y, x(x + y) এর ল.সা.গু. x(x−y) (x+y)

অতএব, ১ম ভগ্নাংশ= $\frac{x}{x-y}=\frac{x.x(x+y)}{(x-y)x(x+y)}= \frac{x^2(x+y)}{x(x^2-y^2)}$

২য় ভগ্নাংশ = $\frac{y}{x+y}= \frac{y.x(x-y)}{(x+y)x(x-y)}= \frac{xy(x-y)}{x(x^2-y^2)}$

৩য় ভগ্নাংশ = $\frac{z}{x(x+y)}=\frac{z(x-y)}{x(x+y)(x-y)}= \frac{z(x-y)}{x(x^2-y^2)}$

.:. নির্ণেয় ভগ্নাংশগুলো $\frac{x^2(x+y)}{x(x^2-y^2)}$,$\frac{xy(x-y)}{x(x^2-y^2)}$,$\frac{z(x-y)}{x(x^2-y^2)}$