y = 2 y = 3x + 4 এবং y = - 3x + 10 রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

প্রদত্ত রেখা তিনটি হলো:

১. \(y = 2\)

২. \(y = 3x + 4\)

৩. \(y = -3x + 10\)

এই তিনটি রেখার ছেদবিন্দুগুলোই ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হবে।

১ ও ২ নং রেখার ছেদবিন্দু নির্ণয়:

\(2 = 3x + 4\)

\(3x = 2 - 4\)

\(3x = -2\)

\(x = -\frac{2}{3}\)

প্রথম শীর্ষবিন্দু \(A = \left(-\frac{2}{3}, 2\right)\)

১ ও ৩ নং রেখার ছেদবিন্দু নির্ণয়:

\(2 = -3x + 10\)

\(3x = 10 - 2\)

\(3x = 8\)

\(x = \frac{8}{3}\)

দ্বিতীয় শীর্ষবিন্দু \(B = \left(\frac{8}{3}, 2\right)\)

২ ও ৩ নং রেখার ছেদবিন্দু নির্ণয়:

\(3x + 4 = -3x + 10\)

\(3x + 3x = 10 - 4\)

\(6x = 6\)

\(x = 1\)

\(x\) এর মান ২ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(y = 3(1) + 4\)

\(y = 3 + 4\)

\(y = 7\)

তৃতীয় শীর্ষবিন্দু \(C = (1, 7)\)

ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো হলো: \(A\left(-\frac{2}{3}, 2\right)\), \(B\left(\frac{8}{3}, 2\right)\), \(C(1, 7)\)

এখানে A এবং B বিন্দুর \(y\) স্থানাঙ্ক একই (অর্থাৎ \(y=2\))। সুতরাং, AB রেখাটি x-অক্ষের সমান্তরাল।

AB রেখার দৈর্ঘ্য (ভূমি) \( = \left| \frac{8}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) \right| = \left| \frac{8}{3} + \frac{2}{3} \right| = \left| \frac{10}{3} \right| = \frac{10}{3}\) একক।

C বিন্দু থেকে AB রেখার (অর্থাৎ \(y=2\)) লম্ব দূরত্বই হবে ত্রিভুজের উচ্চতা।

উচ্চতা \(h = |7 - 2| = 5\) একক।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}\)

\( = \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times 5\)

\( = \frac{50}{6}\)

\( = \frac{25}{3}\) বর্গ একক।

বিকল্প পদ্ধতি (Determinant Formula):

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\)

\(x_1 = -\frac{2}{3}, y_1 = 2\)

\(x_2 = \frac{8}{3}, y_2 = 2\)

\(x_3 = 1, y_3 = 7\)

\( = \frac{1}{2} \left| \left(-\frac{2}{3}\right)(2 - 7) + \left(\frac{8}{3}\right)(7 - 2) + 1(2 - 2) \right|\)

\( = \frac{1}{2} \left| \left(-\frac{2}{3}\right)(-5) + \left(\frac{8}{3}\right)(5) + 1(0) \right|\)

\( = \frac{1}{2} \left| \frac{10}{3} + \frac{40}{3} + 0 \right|\)

\( = \frac{1}{2} \left| \frac{50}{3} \right|\)

\( = \frac{25}{3}\) বর্গ একক।