$y^3-\frac{8}{y^3}$ এর মান নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে,

\(y^2 = 12 + 2\sqrt{35}\)

বা, \(y^2 = 7 + 5 + 2\sqrt{7}\sqrt{5}\)

বা, \(y^2 = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{5}\)

বা, \(y^2 = (\sqrt{7} + \sqrt{5})^2\)

যেহেতু \(y > 0\), সুতরাং উভয়পাশে বর্গমূল করে পাই,

\(y = \sqrt{7} + \sqrt{5}\)

এখন, \(\frac{1}{y} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}\)

বা, \(\frac{1}{y} = \frac{1 \times (\sqrt{7} - \sqrt{5})}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})}\)

বা, \(\frac{1}{y} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}\)

বা, \(\frac{1}{y} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{7 - 5}\)

বা, \(\frac{1}{y} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}\)

অতএব, \(\frac{2}{y} = 2 \times \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}\)

\(\frac{2}{y} = \sqrt{7} - \sqrt{5}\)

এখন, \(y - \frac{2}{y} = (\sqrt{7} + \sqrt{5}) - (\sqrt{7} - \sqrt{5})\)

\(y - \frac{2}{y} = \sqrt{7} + \sqrt{5} - \sqrt{7} + \sqrt{5}\)

\(y - \frac{2}{y} = 2\sqrt{5}\)

প্রদত্ত রাশির মান,

\(y^3 - \frac{8}{y^3} = y^3 - (\frac{2}{y})^3\)

আমরা জানি, \(a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)\) সূত্রানুসারে,

\(y^3 - (\frac{2}{y})^3 = (y - \frac{2}{y})^3 + 3 \times y \times \frac{2}{y} \times (y - \frac{2}{y})\)

বা, \(y^3 - \frac{8}{y^3} = (y - \frac{2}{y})^3 + 6(y - \frac{2}{y})\)

এখন \(y - \frac{2}{y} = 2\sqrt{5}\) এর মান বসিয়ে পাই,

\(y^3 - \frac{8}{y^3} = (2\sqrt{5})^3 + 6(2\sqrt{5})\)

বা, \(y^3 - \frac{8}{y^3} = (2^3 \times (\sqrt{5})^3) + 12\sqrt{5}\)

বা, \(y^3 - \frac{8}{y^3} = (8 \times 5\sqrt{5}) + 12\sqrt{5}\)

বা, \(y^3 - \frac{8}{y^3} = 40\sqrt{5} + 12\sqrt{5}\)

অতএব, \(y^3 - \frac{8}{y^3} = 52\sqrt{5}\)

নির্ণেয় মান \(52\sqrt{5}\)