$Y=(A+B)(A+\overline{B})(\overline{A}+C)$

উদ্দীপকে প্রদত্ত লজিক ফাংশনটি হলো:

$Y=(A+B)(A+\overline{B})(\overline{A}+C)$

প্রদত্ত লজিক ফাংশনটিকে সরলীকরণ করে পাই:

$Y=(A+B)(A+\overline{B})(\overline{A}+C)$

$=A(\overline{A}+C)$ (যেহেতু, $(A+B)(A+\overline{B})=A$ বা \( (X+Y)(X+\bar{Y}) = X \) সূত্রানুসারে)

$=A\overline{A}+AC$

$=0+AC$ (যেহেতু, $A\overline{A}=0$)

$=AC$

সুতরাং, সরলীকৃত লজিক ফাংশন \(Y=AC\) এর সত্যক সারণি নিচে দেওয়া হলো:

ডিজিটাল ইলেকট্রনিক্সে, বুলিয়ান অ্যালজেব্রার মাধ্যমে কোনো যৌক্তিক ফাংশনকে সরলীকরণ করা বর্তনীর বাস্তবায়নকে সহজ করে তোলে। এর ফলে জটিল বর্তনীর গেটের সংখ্যা হ্রাস পায়, যা বর্তনীর নির্মাণ খরচ, বিদ্যুতের ব্যবহার এবং স্থান সাশ্রয় করে। প্রদত্ত উদ্দীপকে, \(Y=(A+B)(A+\bar{B})(\bar{A}+C)\) একটি বুলিয়ান ফাংশন, যা সরলীকরণের মাধ্যমে এর বাস্তবায়ন কতটা সহজ হয় তা বিশ্লেষণ করা হলো।

প্রদত্ত বুলিয়ান সমীকরণটি হলো:

\(Y = (A+B)(A+\bar{B})(\bar{A}+C)\)

প্রথমে, প্রথম দুটি পদ সরলীকরণ করা যাক। আমরা জানি, বুলিয়ান অ্যালজেব্রার একটি উপপাদ্য \((X+Y)(X+\bar{Y}) = X\)। এখানে, \(X=A\) এবং \(Y=B\)।

সুতরাং, \((A+B)(A+\bar{B}) = A\)

এখন, এই সরলীকৃত মানটি মূল সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(Y = A(\bar{A}+C)\)

ডিস্ট্রিবিউটিভ (বন্টন) উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই:

\(Y = A\bar{A} + AC\)

আমরা জানি, \(A\bar{A} = 0\) (একটি চলক এবং তার পূরকের AND অপারেশন সর্বদা 0 হয়)।

সুতরাং,

\(Y = 0 + AC\)

\(Y = AC\)

অতএব, প্রদত্ত বুলিয়ান সমীকরণ \(Y=(A+B)(A+\bar{B})(\bar{A}+C)\) কে সরলীকরণ করে \(Y=AC\) পাওয়া যায়।

এবার মূল সমীকরণ এবং সরলীকৃত সমীকরণ ব্যবহার করে বর্তনী বাস্তবায়নের তুলনামূলক বিশ্লেষণ করা যাক।

মূল সমীকরণ \(Y=(A+B)(A+\bar{B})(\bar{A}+C)\) এর জন্য বর্তনী:

    
• প্রথম পদ \((A+B)\) এর জন্য একটি OR গেট প্রয়োজন।
    
• দ্বিতীয় পদ \((A+\bar{B})\) এর জন্য একটি NOT গেট (B এর জন্য) এবং একটি OR গেট প্রয়োজন।
    
• তৃতীয় পদ \(((\bar{A}+C)\) এর জন্য একটি NOT গেট (A এর জন্য) এবং একটি OR গেট প্রয়োজন।
    
• এই তিনটি OR গেটের আউটপুটকে একত্রিত করার জন্য দুটি AND গেট প্রয়োজন।
    
• মোট গেট সংখ্যা: 3টি OR গেট + 2টি NOT গেট + 2টি AND গেট = 7টি গেট।

সরলীকৃত সমীকরণ \(Y=AC\) এর জন্য বর্তনী:

    
• এটি বাস্তবায়নের জন্য শুধুমাত্র একটি 2-ইনপুট AND গেট প্রয়োজন।
    
• মোট গেট সংখ্যা: 1টি AND গেট।

উপরোক্ত বিশ্লেষণ থেকে স্পষ্ট যে, বুলিয়ান অ্যালজেবরার সাহায্যে প্রদত্ত ফাংশনটিকে \(Y=AC\) এ সরলীকরণ করার ফলে বর্তনী বাস্তবায়নের জন্য প্রয়োজনীয় লজিক গেটের সংখ্যা 7টি থেকে কমে মাত্র 1টি হয়েছে। গেটের সংখ্যা কমার কারণে বর্তনীর নকশা অনেক সহজ হয়। এর ফলে বর্তনীর উৎপাদন খরচ (Cost), বিদ্যুৎ খরচ (Power Consumption), প্রয়োজনীয় স্থান (Space) উল্লেখযোগ্যভাবে কমে যায়। এছাড়াও, কম গেট ব্যবহার হওয়ায় বর্তনীর নির্ভরযোগ্যতা (Reliability) বৃদ্ধি পায় এবং ডেটা প্রক্রিয়াকরণের গতি (Speed) বাড়ে। তাই, "Y কে বুলিয়ান অ্যালজেবরার সাহায্যে সরলীকরণ করার ফলে বর্তনী বাস্তবায়ন সহজ হয়েছে" - এই উক্তিটি সম্পূর্ণরূপে সত্য এবং বাস্তবসম্মত।