পূর্ববর্তী শ্রেণিতে আমরা জেনেছি, ত্রিভুজের তিনটি বাহু দেওয়া থাকলে নির্দিষ্ট ত্রিভুজ আঁকা যায়। কিন্তু চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলে নির্দিষ্ট কোনো চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। চতুর্ভুজ অঙ্কনের জন্য আরও উপাত্তের প্রয়োজন। চতুর্ভুজের চারটি বাহু, চারটি কোণ ও দুইটি কর্ণ, এই মোট দশটি উপাত্ত আছে। একটি চতুর্ভুজ আঁকতে পাঁচটি অনন্য নিরপেক্ষ উপাত্তের প্রয়োজন। যেমন, কোনো চতুর্ভুজের চারটি বাহু ও একটি নির্দিষ্ট কোণ দেওয়া থাকলে, চতুর্ভুজটি আঁকা যাবে।
নিম্নোক্ত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুর্ভুজটি আঁকা যায়।
(ক) চারটি বাহু ও একটি কোণ
(খ) চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
(গ) তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
(ঘ) তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
(ঙ) দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ।
অনেক সময় কম উপাত্ত দেওয়া থাকলেও বিশেষ চতুর্ভুজ আঁকা যায়। এক্ষেত্রে যুক্তি দ্বারা পাঁচটি উপাত্ত পাওয়া যায়।
কোনো চতুর্ভুজের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য ও একটি কোণ দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।
মনে করি, একটি চতুর্ভুজের চার বাহুর দৈর্ঘ্য a, b, c, d এবং a ও b বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠x দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণ :
(১) যেকোনো রশ্মি BE থেকে BC = a নিই । B বিন্দুতে ZEBF = ∠x আঁকি।
(2) BF থেকে BA = b নিই। A ও C কে কেন্দ্র করে যথাক্রমে c ও d এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ∠ABC এর অভ্যন্তরে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। এরা পরস্পর D বিন্দুতে ছেদ করে।
(৩) A ও D এবং C ও D যোগ করি। তাহলে, ∠BCD ই উদ্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ।
প্রমাণ : অঙ্কন অনুসারে,
AB = b, BC = a, AD = c, DC = d এবং ∠ABC = ∠x
∴ ABCD ই নির্ণেয় চতুৰ্ভুজ।
কাজ : ১। একটি চতুর্ভুজ আঁকতে চারটি বাহু ও একটি কোণের পরিমাপের প্রয়োজন। এই পাঁচটি যেকোনো পরিমাপের হলে কি চতুর্ভুজটি আঁকা যাবে? |
কোনো চতুর্ভুজের চারটি বাহু ও একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।
মনে করি, একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য a, b, c, d এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য e দেওয়া আছে, যেখানে a+ b > e এবং c + d > e চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণ :
(১) যেকোনো রশ্মি BE থেকে BD = e নিই। B ও D কে কেন্দ্ৰ করে যথাক্রমে a ও b এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BD এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপদ্বয় A বিন্দুতে ছেদ করে।
(২) আবার, B ও D কে কেন্দ্র করে যথাক্রমে d ও c এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BD এর যেদিকে A আছে তার বিপরীত দিকে আরও দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর C বিন্দুতে ছেদ করে।
(৩) A3B, A ও D, B ও C এবং C ও D যোগ করি। তাহলে, ABCD ই উদ্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ।
প্রমাণ : অঙ্কন অনুসারে, AB = a, AD = b, BC = d, CD = c এবং
কর্ণ BD = e
সুতরাং, ABCD ই নির্ণেয় চতুৰ্ভুজ।
কাজ : ১। একটি চতুর্ভুজ আঁকতে চারটি বাহু ও একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য পরিমাপের প্রয়োজন। এই পাঁচটি যেকোনো পরিমাপের হলে কি চতুর্ভুজটি আঁকা যাবে? তোমার উত্তরের পক্ষে যুক্তি দাও। ২ । একজন শিক্ষার্থী একটি চতুর্ভুজ PLAY আঁকতে চেষ্টা করল, যার PL= 3 সে.মি., LA = 4 সে.মি., AY = 4.5 সে.মি., PY = 2 সে.মি., LY = 6 সে.মি.। সে চতুর্ভুজটি আঁকতে পারলো না। কেন? |
কোনো চতুর্ভুজের তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।
মনে করি, একটি চতুর্ভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য a, b, c এবং দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য d, e দেওয়া আছে, যেখানে a + b > e । চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণ :
(১) যেকোনো রশ্মি BE থেকে BD = e নিই। B ও D কে কেন্দ্ৰ করে যথাক্রমে a ও b এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BD এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপদ্বয় A বিন্দুতে ছেদ করে।
(২) আবার, D ও A কে কেন্দ্র করে যথাক্রমে c ও d এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BD এর যেদিকে A রয়েছে এর বিপরীত দিকে আরও দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পরকে C বিন্দুতে ছেদ করে।
(৩) A ও B A ও D, B ও C এবং C ও D যোগ করি।
তাহলে, ABCD ই উদ্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ।
প্রমাণ : অঙ্কন অনুসারে, AB = a, AD = b, CD = c
এবং কর্ণ BD = e ও AC = d
সুতরাং, ABCD ই নির্ণেয় চতুৰ্ভুজ।
কোনো চতুর্ভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ও দুইটি অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।
মনে করি, একটি চতুর্ভুজের তিনটি বাহু a, b, c এবং a ও b বাহুর অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠x এবং a ও c বাহুর অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠y দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণ : যেকোনো রশ্মি BE থেকে BC = a নিই । B ও C বিন্দুতে ∠x ও y এর সমান করে যথাক্রমে ZCBF ও ZBCG অঙ্কন করি।
BF থেকে BA = b এবং CG থেকে CD = c নিই । A, D যোগ করি।
তাহলে, ABCD ই উদ্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ।
প্রমাণ : অঙ্কন অনুসারে, AB = b, BC = a, CD = c,
∠ABC = ∠x ও ∠BCD = ∠y
সুতরাং ABCD ই নির্ণেয় চতুৰ্ভুজ।
কোনো চতুর্ভুজের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য ও তিনটি কোণ দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।
তিনটি কোণ ∠x, ∠y, ∠z দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণ : যেকোনো রশ্মি BE থেকে BC = a নিই। ও C বিন্দুতে ∠x ও ∠y এর সমান করে যথাক্রমে ∠CBF ও ∠BCG অঙ্কন করি। BF থেকে BA = b নিই।
A বিন্দুতে ∠z এর সমান করে ∠BAH অঙ্কন করি। AH ও CG পরস্পরকে D বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, ABCD ই উদ্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ।
প্রমাণ : অঙ্কন অনুসারে, AB = b, BC = a, ∠ABC = ∠x ∠DCB = ∠y ও ∠BAD = 22
সুতরাং, ABCD ই নির্ণেয় চতুৰ্ভুজ।
কাজ : ১। একটি চতুর্ভুজের সন্নিহিত নয় এরূপ দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ও তিনটি কোণ দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি কি আঁকা যাবে? ২। একজন শিক্ষার্থী একটি চতুর্ভুজ STOP আঁকতে চাইলো যার ST = 5 সে.মি., TO = 4 সে.মি., ∠S = 20°, ∠T = 30°, ∠O = 40° । সে চতুর্ভুজটি কেন আঁকতে পারলো না? |
কোনো সামান্তরিকের সন্নিহিত দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া আছে। সামান্তরিকটি আঁকতে হবে।
মনে করি, একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু a ও b এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠x দেওয়া আছে। সামান্তরিকটি আঁকতে
অঙ্কনের বিবরণ : যেকোনো রশ্মি BE থেকে BC = a নিই । B বিন্দুতে ZEBF = ∠x অঙ্কন করি। BF থেকে b এর সমান BA নিই।
A ও C বিন্দুকে কেন্দ্র করে যথাক্রমে a ও b এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ∠ABC এর অভ্যন্তরে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। এরা পরস্পরকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
A, D ও C, D যোগ করি। তাহলে, ∠BCD ই উদ্দিষ্ট সামান্তরিক।
প্রমাণ : A, C যোগ করি। ∆ABC ও ∆ADC এ
AB = CD = b,
AD = BC = a এবং AC বাহু সাধারণ।
∴ ∆ABC = ∆ADC
অতএব, ∠BAC = ∠DCA কিন্তু, কোণ দুইটি একান্তর কোণ।
∴ AB || CD
অনুরূপভাবে, প্রমাণ করা যায় যে, BC || AD
সুতরাং ABCD একটি সামান্তরিক।
আবার অঙ্কন অনুসারে ∠ABC = ∠X
অতএব, ABCD ই নির্ণেয় সামান্তরিক।
| লক্ষ করি : শুধুমাত্র একটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলেই বর্গ আঁকা সম্ভব। বর্গের বাহুগুলো সমান আর কোণগুলো প্রত্যেকটি সমকোণ। তাই বর্গ অঙ্কনের জন্য প্রয়োজনীয় পাঁচটি শর্ত সহজেই পূরণ করা যায়। |
কোনো বর্গের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে, বর্গটি আঁকতে হবে।
মনে করি, a কোনো বর্গের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য। বর্গটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণ : যেকোনো রশ্মি BE থেকে BC = a নিই ।
B বিন্দুতে BF ⊥ BC আঁকি।
BF থেকে BA = a নিই। A ও C কে কেন্দ্র করে a এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ∠ABC এর অভ্যন্তরে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।
বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পরকে D বিন্দুতে ছেদ করে। A ও D এবং C ও D যোগ করি।
তাহলে, ABCD ই উদ্দিষ্ট বর্গ।
প্রমাণ : ABCD চতুর্ভুজের AB = BC = CD = DA = a
এবং ∠ABC = এক সমকোণ।
সুতরাং, এটি একটি বর্গ।
অতএব, ABCD ই নির্ণেয় বর্গ।
or
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
