খ্রিস্টপূর্ব ষষ্ঠ শতাব্দীর গ্রিক দার্শনিক পিথাগোরাস সমকোণী ত্রিভুজের একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য নিরূপণ করেন। সমকোণী ত্রিভুজের এ বৈশিষ্ট্য পিথাগোরাসের বৈশিষ্ট্য বলে পরিচিত। বলা হয় পিথাগোরাসের জন্মের আগে মিসরীয় ও ব্যবিলনীয় যুগেও সমকোণী ত্রিভুজের এ বৈশিষ্ট্যের ব্যবহার ছিল। এ অধ্যায়ে আমরা সমকোণী ত্রিভুজের এ বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা করব। সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো বিশেষ নামে পরিচিত। সমকোণের বিপরীত বাহু অতিভুজ এবং সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ভূমি ও উন্নতি। বর্তমান অধ্যায়ে এ তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের মধ্যে যে সম্পর্ক রয়েছে সে বিষয়ে আলোচনা করা হবে।
অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা-
➤ পিথাগোরাসের উপপাদ্য যাচাই ও প্রমাণ করতে পারবে।
➤ ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে ত্রিভুজটি সমকোণী কি না যাচাই করতে পারবে।
➤ পিথাগোরাসের সূত্র ব্যবহার করে সমস্যা সমাধান করতে পারবে।
চিত্রে, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ, এর ∠ACB কোণটি সমকোণ। সুতরাং AB ত্রিভুজটির অতিভুজ। চিত্রে ত্রিভুজটির বাহুগুলো a, b, c দ্বারা নির্দেশ করি।
কাজ : ১। একটি সমকোণ আঁক এবং এর বাহু দুইটির উপর যথাক্রমে 3 সে.মি. ও 4 সে.মি. দূরত্বে দুইটি বিন্দু চিহ্নিত কর। বিন্দু দুইটি যোগ করে একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁক। ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য পরিমাপ কর। দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. হয়েছে কি? |
লক্ষ কর, 32 + 42 52 অর্থাৎ দুই বাহুর দৈর্ঘ্য পরিমাপের বর্গের যোগফল অতিভুজের পরিমাপের বর্গের সমান।
সুতরাং a,b,c বাহু দ্বারা নির্দেশিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রে c2 = a2 + b2 হবে। এটা পিথাগোরাসের উপপাদ্যের মূল প্রতিপাদ্য। এই উপপাদ্যটি বিভিন্নভাবে প্রমাণ করা হয়েছে । এখানে কয়েকটি সহজ প্রমাণ দেওয়া হলো।
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
(দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে)
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B = 90°
অঙ্কন : BC কে D পর্যন্ত বর্ধিত করি, যেন CD = AB = c হয়।
D বিন্দুতে বর্ধিত BC এর উপর DE লম্ব আঁকি, যেন DE = BC = a হয়। C, E ও A, E যোগ করি।
প্ৰমাণ :
ধাপ | যথার্থতা |
---|---|
(১) ∠ABC ও ACDE এ AB = CD = c, BC = DE = a এবং অন্তর্ভুক্ত ∠ABC = অন্তর্ভুক্ত ∠CDE সুতরাং, ∆ABC ≅ ∆CDE ∴ AC = CE = b এবং ∠BAC = ∠ECD (২) আবার, AB ⊥ BD এবং ED ⊥ BD বলে AB || ED সুতরাং, ABDE একটি ট্রাপিজিয়াম। (৩) তদুপরি, ∠ACB + ∠BAC = ∠ACB + ∠ECD = এক সমকোণ। ∴ ∠ACE = এক সমকোণ। ∴ ∆ACE সমকোণী ত্রিভুজ। এখন ABDE ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ( ∆ ক্ষেত্র ABC + ∆ ক্ষেত্র CDE + ∆ ক্ষেত্র ACE) বা, বা, বা, (a + c) (a + c) = 2ac + b2 [2 দ্বারা গুণ করে] বা, a2 + 2ac + c2 = 2ac + b2 ∴ b2 = c2 + a2 (প্রমাণিত) | [প্রত্যেকে সমকোণ]
[বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]
∴ ∠BAC = ∠ECD
[ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল x সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব]
|
(সদৃশকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে)
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ZC = 90° এবং অতিভুজ AB = C, BC = a, AC = b প্রমাণ করতে হবে যে, AB2 = AC2 + BC2
অর্থাৎ c2 = a2 + b2
অঙ্কন : C বিন্দু থেকে অতিভুজ AB এর উপর লম্ব CH অঙ্কন করি। AB অতিভুজ H বিন্দুতে d ও e অংশে বিভক্ত হলো।
প্ৰমাণ :
ধাপ | যথার্থতা |
---|---|
∆ВСН ও ∆АВС এ ∠BHC = ∠ACB এবং ∠CBH = ∠ABC (১) ∴ ∆CBH ও ∆ABC সদৃশ। ∴ ∴ … …(1) (২) অনুরূপভাবে ∆ACH ও ∆ABC সদৃশ৷ ∴ … … (2) (৩) অনুপাত দুইটি থেকে পাই, a2 = c × e, b2 = c × d অতএব, a2 + b2 = c × e + c × d = c (e + d) = c × e = c2 ∴ c 2 = a2 + b2 [প্রমাণিত] | প্রত্যেকেই সমকোণ সাধারণ কোণ
[(i) উভয় ত্রিভুজ সমকোণী (ii) ZA কোণ সাধারণ]
∵ c = e + d |
(বীজগণিতের সাহায্যে)
পিথাগোরাসের উপপাদ্য বীজগণিতের সাহায্যে সহজেই প্রমাণ করা যায়।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের
অতিভুজ c এবং a, b যথাক্রমে অন্য দুই বাহু।
প্রমাণ করতে হবে, c2 = a2 + b2
অঙ্কন : প্রদত্ত ত্রিভুজটির সমান করে চারটি ত্রিভুজ চিত্রে প্রদর্শিত উপায়ে আঁকি।
প্ৰমাণ :
ধাপ | যথার্থতা |
---|---|
(১) অঙ্কিত বড় ক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্র। এর ক্ষেত্রফল (a + b)2 (২) ছোট চতুৰ্ভুজ ক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্র। এর ক্ষেত্রফল c2 (৩) অঙ্কনানুসারে, বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল চারটি ত্রিভুজক্ষেত্র ও ছোট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। অর্থাৎ, বা, a2 + 2ab + b2 = 2ab+c2 ∴ c2 = a2 + b2 (প্রমাণিত) | [বাহুগুলোর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a+b এবং কোণগুলো সমকোণ]
[বাহুগুলোর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য c]
|
কাজ : ১। (a–b)2 এর বিস্তৃতির সাহায্যে পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি প্রমাণ কর। |
যদি কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টির সমান হয়, তবে শেষোক্ত বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণটি সমকোণ হবে।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ∆ABC এর AB2 = AC2 + BC2 প্রমাণ করতে হবে যে, ∠C = এক সমকোণ।
অঙ্কন : এমন একটি ত্রিভুজ DEF আঁকি, যেন ∠F এক সমকোণ, EF = BC এবং DF = AC হয়।
প্ৰমাণ :
ধাপ | যথার্থতা |
---|---|
(১) DE2 = EF2 + DF2 = BC2 + AC2 = AB2 ∴ DE = AB এখন ∆ABC ও DEF এ BC = EF, AC = DF এবং AB = DE. ∴ ∆ABC = ∆DEF ∴ ∠C = ∠F ∴ ∠C = এক সমকোণ। [প্রমাণিত] | [কারণ ∆DEF এ ∠F এক সমকোণ] [কল্পনা]
[বাহু-বাহু-বাহু সর্বসমতা] [∵ ∠F এক সমকোণ] |