পৈসুঁবিন্যাসের গড় (Mean) এবং ভেদাঙ্ক (Variance) নির্ধারণের জন্য এর মূল সূত্র এবং গাণিতিক প্রত্যাশা \( E(X) \) ও ভেদাঙ্ক \( Var(X) \)-এর ধারণা ব্যবহার করা হয়।
গড় বা গণিতগত প্রত্যাশা \( E(X) \) হলো প্রত্যাশিত ঘটনাগুলির গড় সংখ্যা। পৈসুঁবিন্যাসে এটি \( \lambda \)-এর সমান।
\[
E(X) = \lambda
\]
\( \lambda \) হলো গড় হার, যা নির্দিষ্ট সময় বা স্থানের মধ্যে একটি ঘটনা ঘটার গড় সংখ্যা নির্দেশ করে।
ভেদাঙ্ক \( Var(X) \) হলো গড় থেকে মানগুলোর বিচ্যুতি। পৈসুঁবিন্যাসের ক্ষেত্রে ভেদাঙ্কও \( \lambda \)-এর সমান।
\[
Var(X) = \lambda
\]
গড় হার \( \lambda \) যেটি গড় সংখ্যার মতো একই মান নির্ধারণ করে, তা একইসাথে ভেদাঙ্ক হিসেবেও কাজ করে।
পৈসুঁবিন্যাসের জন্য সম্ভাব্যতা ফাংশন:
\[
P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
\]
\[
E(X) = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot P(X = k)
\]
\[
E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
\]
\( k! \)-এর পরিবর্তে \( (k-1)! \) দিয়ে সরলীকরণ করলে:
\[
E(X) = \lambda \cdot \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}
\]
\( \sum_{k=1}^{\infty} \) কে \( e^{\lambda} \)-এর প্রসারণে পরিবর্তিত করলে:
\[
E(X) = \lambda
\]
ভেদাঙ্কের সূত্র:
\[
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
\]
\( E(X^2) \) বের করতে \( k^2 \)-এর উপর ভিত্তি করে \( P(X = k) \)-এর গাণিতিক গুণফল ব্যবহার করা হয়। নির্ধারণ শেষে প্রমাণিত হয় যে:
\[
E(X^2) = \lambda + \lambda^2
\]
তাহলে:
\[
Var(X) = (\lambda + \lambda^2) - \lambda^2 = \lambda
\]
ধরা যাক, একটি কফি শপে প্রতি ঘণ্টায় গড়ে \( \lambda = 4 \) জন গ্রাহক আসে।
\[
E(X) = \lambda = 4
\]
\[
Var(X) = \lambda = 4
\]
অর্থাৎ, প্রতি ঘণ্টায় গড় গ্রাহক সংখ্যা ৪, এবং এই গড় থেকে বিচ্যুতির মানও ৪।
পৈসুঁবিন্যাসের ক্ষেত্রে:
\[
E(X) = Var(X) = \lambda
\]
এটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য যা পৈসুঁবিন্যাসকে অন্য অনেক বিন্যাস থেকে আলাদা করে।
Read more
or
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
