ভগ্নাংশের যোগ (৫.৪)

অষ্টম শ্রেণি (দাখিল) - গণিত বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ | - | NCTB BOOK

258

দুই বা ততোধিক ভগ্নাংশের যোগ করতে হলে, ভগ্নাংশগুলোকে সাধারণ হরবিশিষ্ট করে লবগুলোকে যোগ করলে যোগফল হবে একটি নতুন ভগ্নাংশ, যার লব হবে সাধারণ হরবিশিষ্টকরণকৃত ভগ্নাংশগুলোর লবের যোগফল এবং হর হবে ভগ্নাংশগুলোর হরের ল.সা.গু.।

যেমন, $\frac{a}{x}, \frac{b}{y}, \frac{b}{z}$

$= \frac{a y z}{x y z} + \frac{b x z}{x y z} + \frac{b x y}{x y z}$

$= \frac{a y z + b x z + b x y}{x y z}$

উদাহরণ ৩। ভগ্নাংশ তিনটি যোগ কর : $\frac{1}{x - y}, \frac{x}{x^{2} + x y + y^{2}}, \frac{y^{2}}{x^{3} - y^{3}}$

এখানে, ১ম ভগ্নাংশ $= \frac{1}{x - y}$

২য় ভগ্নাংশ $= \frac{x}{x^{2} + x y + y^{2}}$

৩য় ভগ্নাংশ $= \frac{y^{2}}{x^{3} - y^{3}} = \frac{y^{2}}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

হরগুলোর ল.সা.গু. $= (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) = (x^{3} - y^{3})$

সুতরাং, $\frac{1}{x - y}, \frac{x}{x^{2} + x y + y^{2}}, \frac{y^{2}}{x^{3} - y^{3}}$ এর যোগফল

$= \frac{1}{x - y} + \frac{x}{x^{2} + x y + y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{3} - y^{3}}$

$= \frac{x^{2} + x y + y^{2}}{x^{3} - y^{3}} + \frac{x^{2} - x y}{x^{3} - y^{3}} + \frac{y^{2}}{x^{3} - y^{3}}$

$= \frac{x^{2} + x y + y^{2} + x^{2} - x y + y^{2}}{x^{3} - y^{3}}$

$= \frac{2 (x^{2} + y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

নির্ণেয় যোগফল $\frac{2 (x^{2} + y^{2})}{x^{3} - y^{3}}$

উদাহরণ ৪। যোগফল বের কর : $\frac{3 a}{(a^{2} + 3 a - 4)} + \frac{2 a}{a^{2} - 1} + \frac{a}{a^{2} + 5 a + 4}$

সমাধান : প্রদত্ত রাশি, $\frac{3 a}{a^{2} + 3 a - 4} + \frac{2 a}{a^{2} - 1} + \frac{a}{a^{2} + 5 a + 4}$

$= \frac{3 a}{a^{2} + 4 a - a - 4} + \frac{2 a}{(a + 1) (a - 1)} + \frac{a}{a^{2} + a + 4 a + 4}$

$= \frac{3 a (a + 1) + 2 a (a + 4) + a (a - 1)}{(a + 4) (a + 1) (a - 1)}$

$= \frac{3 a^{2} + 3 a + 2 a^{2} + 8 a + a^{2} - a}{(a + 4) (a + 1) (a - 1)}$

$= \frac{6 a^{2} + 10 a}{(a + 4) (a + 1) (a - 1)}$

$= \frac{2 a (3 a + 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

উদাহরণ ৫। যোগফল নির্ণয় কর :

(ক) $\frac{a - b}{b c} + \frac{b - c}{c a} + \frac{c - a}{a b}$

(খ) $\frac{1}{a^{2} - 5 a + 6} + \frac{1}{a^{2} - 9} + \frac{1}{a^{2} + 4 a + c}$

(গ) $\frac{1}{a - 2} + \frac{a + 2}{a^{2} + 2 a + 4}$

সমাধান : (ক) $\frac{a - b}{b c} + \frac{b - c}{c a} + \frac{c - a}{a b}$

$= \frac{a^{2} - a b + b^{2} - b c + c^{2} - c a}{a b c}$

$= \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a}{a b c}$

(খ) $\frac{1}{a^{2} - 5 a + 6} + \frac{1}{a^{2} - 9} + \frac{1}{a^{2} + 4 a + 3}$

$= \frac{1}{a^{2} - 2 a - 3 a + 6} + \frac{1}{(a + 3) (a - 3)} + \frac{1}{a^{2} + 3 a + a + 3}$

$= \frac{1}{a (a - 2) - 3 (a - 2)} + \frac{1}{(a + 3) (a - 3)} + \frac{1}{a (a + 3) + 1 (a + 3)}$

$= \frac{1}{(a - 2) (a - 3)} + \frac{1}{(a + 3) (a - 3)} + \frac{1}{(a + 3) (a - 1)}$

$= \frac{(a + 1) (a + 3) + (a + 1) (a - 2) + (a - 2) (a - 3)}{(a + 1) (a - 2) (a + 3) (a - 3)}$

$= \frac{a^{2} + 4 a + 3 + a^{2} - a + 2 + a^{2} - 5 a + 6}{(a + 1) (a - 2) (a + 3) (a - 3)}$

$= \frac{3 a^{2} - 2 a + 7}{(a + 1) (a - 2) (a^{2} - 9)}$

(গ) $\frac{1}{a - 2} + \frac{a + 2}{a^{2} + 2 a + 4}$

$= \frac{a^{2} + 2 a + 4 + (a - 2) (a + 2)}{(a - 2) (a^{2} + 2 a + 4)}$

$= \frac{a^{2} + 2 a + 4 + a^{2} - 4}{a^{3} - 8}$

$= \frac{2 a^{2} + 2 a}{a^{3} - 8}$

কাজ : যোগ কর : ১। $\frac{2 a}{3 x^{2} y}, \frac{3 b}{2 x y^{2}}$ ও $\frac{a + b}{x y}$ ২। $\frac{2}{x^{2} y - x y^{2}}, \frac{3}{x y (x^{2} - y^{2})}$ ও $\frac{1}{x^{2} - y^{2}}$