সম্ভাবনা অপেক্ষক (Probability Function) হলো দৈব চলকের মানগুলোর সম্ভাবনা বন্টনের একটি ফাংশন। নিচে সম্ভাবনা অপেক্ষক সম্পর্কিত কয়েকটি সমস্যা এবং সমাধান দেওয়া হলো:
একটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হয়েছে। \(X\) দৈব চলকটি ছক্কার মুখের সংখ্যা নির্দেশ করে। ছক্কাটি ন্যায়সঙ্গত হওয়ায় প্রতিটি মুখের সম্ভাবনা সমান। \(P(X=x)\)-এর মান নির্ণয় করুন।
ছক্কা নিক্ষেপের সম্ভাব্য ফলাফল: \(X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}\)।
প্রতিটি মানের জন্য \(P(X=x) = \frac{1}{6}\)।
সম্ভাবনা অপেক্ষক:
\[
P(X = x) =
\begin{cases}
\frac{1}{6}, & x \in {1, 2, 3, 4, 5, 6} \
0, & \text{অন্যথায়।}
\end{cases}
\]
নিচের দৈব চলকের জন্য \(P(X = x)\)-এর সম্ভাবনা একটি বৈধ অপেক্ষক কিনা যাচাই করুন।
\[
P(X=x) =
\begin{cases}
0.2, & x = 1 \
0.3, & x = 2 \
0.5, & x = 3 \
0, & \text{অন্যথায়।}
\end{cases}
\]
সম্ভাবনা অপেক্ষক বৈধ হওয়ার শর্ত:
উভয় শর্ত পূরণ হওয়ায় এটি একটি বৈধ সম্ভাবনা অপেক্ষক।
একটি বাক্সে ৫টি লাল বল এবং ৩টি নীল বল আছে। একটি বল এলোমেলোভাবে তোলা হলে, \(X = 1\) যদি বলটি লাল হয় এবং \(X = 0\) যদি বলটি নীল হয়। \(P(X=1)\) এবং \(P(X=0)\) নির্ণয় করুন।
মোট বলের সংখ্যা: \(5 + 3 = 8\)
একটি দৈব চলক \(X\)-এর জন্য \(P(X=x)\) নিচের মতো দেওয়া হয়েছে:
\[
P(X=x) =
\begin{cases}
0.2, & x = 1 \
0.5, & x = 2 \
0.3, & x = 3
\end{cases}
\]
\(E(X)\) নির্ণয় করুন।
গাণিতিক প্রত্যাশার সূত্র:
\[
E(X) = \sum_{x} x \cdot P(X = x)
\]
এখন, \(E(X)\)-এর মান নির্ণয়:
\[
E(X) = (1 \cdot 0.2) + (2 \cdot 0.5) + (3 \cdot 0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1
\]
ধরা যাক \(f(x) = kx\), যেখানে \(x \in [0, 2]\), একটি সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন (PDF)। \(k\)-এর মান নির্ণয় করুন।
PDF-এর মোট ক্ষেত্রফল ১ হওয়া উচিত:
\[
\int_{0}^{2} f(x) dx = 1
\]
এখন \(f(x) = kx\) বসিয়ে সমাধান করি:
\[
\int_{0}^{2} kx , dx = 1
\]
\[
k \int_{0}^{2} x , dx = 1
\]
\[
k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = 1
\]
\[
k \cdot \left(\frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2}\right) = 1
\]
\[
k \cdot 2 = 1 \implies k = \frac{1}{2}
\]
সুতরাং, \(f(x) = \frac{1}{2}x\)।
একটি দৈব চলক \(X\)-এর সম্ভাবনা ঘনত্ব \(f(x)\) নিচের মতো দেওয়া হয়েছে:
\[
f(x) =
\begin{cases}
2x, & 0 \leq x \leq 1 \
0, & \text{অন্যথায়।}
\end{cases}
\]
এর জন্য \(F(x)\) বিন্যাস অপেক্ষক নির্ণয় করুন।
CDF-এর সংজ্ঞা:
\[
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt
\]
\(0 \leq x \leq 1\)-এর জন্য:
\[
F(x) = \int_{0}^{x} 2t , dt
\]
\[
F(x) = \left[t^2\right]_{0}^{x} = x^2
\]
সুতরাং:
\[
F(x) =
\begin{cases}
0, & x < 0 \
x^2, & 0 \leq x \leq 1 \
1, & x > 1
\end{cases}
\]
উপরোক্ত সমস্যাগুলো সম্ভাবনা অপেক্ষকের বিভিন্ন দিক যেমন, বৈধতা যাচাই, গাণিতিক প্রত্যাশা নির্ণয়, এবং বিন্যাস অপেক্ষক সংক্রান্ত ধারণাগুলো পরিষ্কারভাবে তুলে ধরে। এগুলো পরিসংখ্যান ও সম্ভাবনা তত্ত্বের মূল ধারণা নিয়ে কাজ করার ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ।
Read more
or
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
