স্কেলার গুণন

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - উচ্চতর গণিত উচ্চতর গণিত – ১ম পত্র | - | NCTB BOOK

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ডট প্রোডাক্ট (Dot Product)

ডট প্রোডাক্ট হল দুটি ভেক্টরের মধ্যে স্কেলার গুণন। এটি দুটি ভেক্টরের মান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের উপর ভিত্তি করে একটি স্কেলার মান দেয়।

সূত্র:

যদি দুটি ভেক্টর

→A=Axi+Ayj+Azk<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><mi>i</mi><mo>+</mo><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub><mi>j</mi><mo>+</mo><msub><mi>A</mi><mi>z</mi></msub><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} = A_x i + A_y j + A_z k</annotation></semantics></math>

A

=

A

x

​

i

+

A

y

​

j

+

A

z

​

k

এবং

→B=Bxi+Byj+Bzk<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><msub><mi>B</mi><mi>x</mi></msub><mi>i</mi><mo>+</mo><msub><mi>B</mi><mi>y</mi></msub><mi>j</mi><mo>+</mo><msub><mi>B</mi><mi>z</mi></msub><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B} = B_x i + B_y j + B_z k</annotation></semantics></math>

B

=

B

x

​

i

+

B

y

​

j

+

B

z

​

k

হয়, তাহলে তাদের ডট প্রোডাক্ট হয়:

→A⋅→B=AxBx+AyBy+AzBz<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>⋅</mo><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>x</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>y</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>A</mi><mi>z</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>z</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z</annotation></semantics></math>

$A$ $\cdot$ $B$ $=$ $A$ $x$ $$ $B$ $x$ $$ $+$ $A$ $y$ $$ $B$ $y$ $$ $+$ $A$ $z$ $$ $B$ $z$ $$

অথবা, ডট প্রোডাক্টকে কোণের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়:

→A⋅→B=∣→A∣∣→B∣cosθ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>⋅</mo><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta</annotation></semantics></math>

$A$ $\cdot$ $B$ $=$ $∣$ $A$ $∣∣$ $B$ $∣$ $cos$ $θ$

এখানে,

$∣→A∣<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|\vec{A}|</annotation></semantics></math>$ $∣$ $A$ $∣$ এবং $∣→B∣<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|\vec{B}|</annotation></semantics></math>$ $∣$ $B$ $∣$ হল ভেক্টর $→A<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A}</annotation></semantics></math>$ $A$ এবং $→B<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B}</annotation></semantics></math>$ $B$ -এর মান।
$θ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>θ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\theta</annotation></semantics></math>$ $θ$ হল $→A<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A}</annotation></semantics></math>$ $A$ এবং $→B<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B}</annotation></semantics></math>$ $B$ এর মধ্যবর্তী কোণ।

উদাহরণ:

ধরা যাক, $→A=2i+3j+4k<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>j</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} = 2i + 3j + 4k</annotation></semantics></math>$ $A$ $=$ $2$ $i$ $+$ $3$ $j$ $+$ $4$ $k$ এবং $→B=i+2j+3k<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>j</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B} = i + 2j + 3k</annotation></semantics></math>$ $B$ $=$ $i$ $+$ $2$ $j$ $+$ $3$ $k$ । তাহলে তাদের ডট প্রোডাক্ট হবে:

→A⋅→B=(2×1)+(3×2)+(4×3)=2+6+12=20<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>⋅</mo><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>6</mn><mo>+</mo><mn>12</mn><mo>=</mo><mn>20</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} \cdot \vec{B} = (2 \times 1) + (3 \times 2) + (4 \times 3) = 2 + 6 + 12 = 20</annotation></semantics></math>

$A$ $\cdot$ $B$ $=$ $($ $2$ $\times$ $1$ $)$ $+$ $($ $3$ $\times$ $2$ $)$ $+$ $($ $4$ $\times$ $3$ $)$ $=$ $2$ $+$ $6$ $+$ $12$ $=$ $20$

বৈশিষ্ট্য:

ডট প্রোডাক্ট দুটি ভেক্টরের মধ্যে কোণ নির্ণয়ে সহায়ক।
যদি $→A⋅→B=0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>⋅</mo><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} \cdot \vec{B} = 0</annotation></semantics></math>$ $A$ $\cdot$ $B$ $=$ $0$ হয়, তাহলে ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব।