ভেক্টর গুণন

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - উচ্চতর গণিত উচ্চতর গণিত – ১ম পত্র | - | NCTB BOOK

591

ক্রস প্রোডাক্ট (Cross Product)

ক্রস প্রোডাক্ট হল দুটি ভেক্টরের মধ্যে ভেক্টর গুণন, যা একটি নতুন ভেক্টর উৎপন্ন করে। এই নতুন ভেক্টরটি দুটি মূল ভেক্টরের সমতলে লম্বভাবে থাকে।

সূত্র:

যদি দুটি ভেক্টর

→A=Axi+Ayj+Azk<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><mi>i</mi><mo>+</mo><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub><mi>j</mi><mo>+</mo><msub><mi>A</mi><mi>z</mi></msub><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} = A_x i + A_y j + A_z k</annotation></semantics></math>

A

=

A

x

​

i

+

A

y

​

j

+

A

z

​

k

এবং

→B=Bxi+Byj+Bzk<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><msub><mi>B</mi><mi>x</mi></msub><mi>i</mi><mo>+</mo><msub><mi>B</mi><mi>y</mi></msub><mi>j</mi><mo>+</mo><msub><mi>B</mi><mi>z</mi></msub><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B} = B_x i + B_y j + B_z k</annotation></semantics></math>

B

=

B

x

​

i

+

B

y

​

j

+

B

z

​

k

হয়, তাহলে তাদের ক্রস প্রোডাক্ট হবে:

→A×→B=(AyBz−AzBy)i−(AxBz−AzBx)j+(AxBy−AyBx)k<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>×</mo><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>z</mi></msub><mo>−</mo><msub><mi>A</mi><mi>z</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>y</mi></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi>i</mi><mo>−</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>z</mi></msub><mo>−</mo><msub><mi>A</mi><mi>z</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>x</mi></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi>j</mi><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>A</mi><mi>x</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>y</mi></msub><mo>−</mo><msub><mi>A</mi><mi>y</mi></msub><msub><mi>B</mi><mi>x</mi></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} \times \vec{B} = (A_y B_z - A_z B_y) i - (A_x B_z - A_z B_x) j + (A_x B_y - A_y B_x) k</annotation></semantics></math>

$A$ $\times$ $B$ $=$ $($ $A$ $y$ $$ $B$ $z$ $$ $-$ $A$ $z$ $$ $B$ $y$ $$ $)$ $i$ $-$ $($ $A$ $x$ $$ $B$ $z$ $$ $-$ $A$ $z$ $$ $B$ $x$ $$ $)$ $j$ $+$ $($ $A$ $x$ $$ $B$ $y$ $$ $-$ $A$ $y$ $$ $B$ $x$ $$ $)$ $k$

অথবা, ক্রস প্রোডাক্টকে কোণের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়:

∣→A×→B∣=∣→A∣∣→B∣sinθ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>×</mo><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta</annotation></semantics></math>

$∣$ $A$ $\times$ $B$ $∣$ $=$ $∣$ $A$ $∣∣$ $B$ $∣$ $sin$ $θ$

এখানে,

$∣→A∣<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|\vec{A}|</annotation></semantics></math>$ $∣$ $A$ $∣$ এবং $∣→B∣<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">∣</mi><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mi mathvariant="normal">∣</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">|\vec{B}|</annotation></semantics></math>$ $∣$ $B$ $∣$ হল ভেক্টর $→A<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A}</annotation></semantics></math>$ $A$ এবং $→B<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B}</annotation></semantics></math>$ $B$ -এর মান।
$θ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>θ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\theta</annotation></semantics></math>$ $θ$ হল $→A<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A}</annotation></semantics></math>$ $A$ এবং $→B<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B}</annotation></semantics></math>$ $B$ এর মধ্যবর্তী কোণ।

উদাহরণ:

ধরা যাক, $→A=2i+3j+4k<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>j</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} = 2i + 3j + 4k</annotation></semantics></math>$ $A$ $=$ $2$ $i$ $+$ $3$ $j$ $+$ $4$ $k$ এবং $→B=i+2j+3k<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>j</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B} = i + 2j + 3k</annotation></semantics></math>$ $B$ $=$ $i$ $+$ $2$ $j$ $+$ $3$ $k$ । তাহলে তাদের ক্রস প্রোডাক্ট হবে:

→A×→B=(3×3−4×2)i−(2×3−4×1)j+(2×2−3×1)k<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>×</mo><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>−</mo><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">)</mo><mi>i</mi><mo>−</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn><mo>−</mo><mn>4</mn><mo>×</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mi>j</mi><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>2</mn><mo>−</mo><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mi>k</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} \times \vec{B} = (3 \times 3 - 4 \times 2)i - (2 \times 3 - 4 \times 1)j + (2 \times 2 - 3 \times 1)k</annotation></semantics></math>

$A$ $\times$ $B$ $=$ $($ $3$ $\times$ $3$ $-$ $4$ $\times$ $2$ $)$ $i$ $-$ $($ $2$ $\times$ $3$ $-$ $4$ $\times$ $1$ $)$ $j$ $+$ $($ $2$ $\times$ $2$ $-$ $3$ $\times$ $1$ $)$ $k$ $=$ $($ $9$ $-$ $8$ $)$ $i$ $-$ $($ $6$ $-$ $4$ $)$ $j$ $+$ $($ $4$ $-$ $3$ $)$ $k$ $=$ $i$ $-$ $2$ $j$ $+$ $k$

বৈশিষ্ট্য:

ক্রস প্রোডাক্টে উৎপন্ন ভেক্টরটি দুটি মূল ভেক্টরের সমতলে লম্ব।
যদি $→A<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A}</annotation></semantics></math>$ $A$ এবং $→B<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{B}</annotation></semantics></math>$ $B$ পরস্পর সমান্তরাল হয়, তাহলে $→A×→B=0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mover accent="true"><mi>A</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>×</mo><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>⃗</mo></mover><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\vec{A} \times \vec{B} = 0</annotation></semantics></math>$ $A$ $\times$ $B$ $=$ $0$ হয়।

Content added By

Sheikh Shakib Bin Shofiq

স্কেলার গুণন

ভেক্টর গুণন

ক্রস প্রোডাক্ট (Cross Product)

সূত্র:

উদাহরণ:

বৈশিষ্ট্য:

All Notifications

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Promotion