নির্ণায়ক (Determinant) হলো একটি স্কোয়ার ম্যাট্রিক্সের একটি বিশেষ গাণিতিক মান, যা ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলোর উপর ভিত্তি করে নির্ণয় করা হয়। নির্ণায়ক অনেক গাণিতিক প্রক্রিয়ায় গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, যেমন সিস্টেম অফ ইকুয়েশন সমাধান, ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নির্ণয় এবং স্থানাঙ্ক নির্ধারণে।

নিচে নির্ণায়ক সম্পর্কে বিভিন্ন গুরুত্বপূর্ণ বিষয় বর্ণনা করা হলো:

১. নির্ণায়কের চিহ্ন ও নির্দেশনা

নির্ণায়ককে সাধারণত \(|A|\) বা \(\det(A)\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যেখানে \(A\) একটি স্কোয়ার ম্যাট্রিক্স। নির্ণায়কের মান ম্যাট্রিক্সের আকারের উপর নির্ভরশীল এবং এটি একটি একক সংখ্যা।

২. ২x২ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক

একটি \(2 \times 2\) ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক খুব সহজে বের করা যায়। যদি

\[
A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
\]

তাহলে নির্ণায়ক \(|A|\) হবে:

\[
|A| = ad - bc
\]

উদাহরণস্বরূপ, যদি

\[
A = \begin{pmatrix} 3 & 8 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}
\]

তাহলে,

\[
|A| = (3 \times 6) - (8 \times 4) = 18 - 32 = -14
\]

৩. ৩x৩ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক

একটি \(3 \times 3\) ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক নির্ণয় করতে আরও কিছু বেশি হিসাব প্রয়োজন। যদি

\[
A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}
\]

তাহলে নির্ণায়ক \(|A|\) হবে:

\[
|A| = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
\]

উদাহরণস্বরূপ, যদি

\[
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}
\]

তাহলে,

\[
|A| = 1(4 \times 6 - 5 \times 0) - 2(0 \times 6 - 5 \times 1) + 3(0 \times 0 - 4 \times 1)
\]

\[
= 1 \times 24 - 2 \times -5 + 3 \times -4 = 24 + 10 - 12 = 22
\]

৪. নির্ণায়কের বৈশিষ্ট্য

নির্ণায়কের কিছু গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হলো:

• শূন্য নির্ণায়ক: যদি কোনো স্কোয়ার ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক \(0\) হয়, তবে ম্যাট্রিক্সটি সিংগুলার (singular) ম্যাট্রিক্স, অর্থাৎ এর কোনো বিপরীত ম্যাট্রিক্স নেই।
• বিপরীত নির্ণায়ক: কোনো ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক \(0\) না হলে সেটি ইনভার্টেবল, অর্থাৎ এর একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স রয়েছে।
• রো ও কলাম বিনিময়: কোনো দুটি রো বা কলাম বিনিময় করলে নির্ণায়কের চিহ্ন পরিবর্তিত হয় (ধনাত্মক থেকে ঋণাত্মক বা ঋণাত্মক থেকে ধনাত্মক)।
• রো বা কলামের গুণফল: যদি একটি রো বা কলামের সব উপাদান \(k\)-গুণ বৃদ্ধি করা হয়, তবে নির্ণায়কও \(k\)-গুণ বৃদ্ধি পায়।

৫. নির্ণায়কের প্রয়োগ

নির্ণায়ক বিভিন্ন গাণিতিক ও প্রকৌশল সমস্যার সমাধানে ব্যবহৃত হয়:

• লিনিয়ার সিস্টেম সমাধান: নির্ণায়ক ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স সমীকরণ সমাধান করা যায়, যেমন ক্র্যামারের নিয়ম।
• জ্যামিতিক রূপান্তর: নির্ণায়কের মাধ্যমে ত্রিভুজ বা বহুভুজের এলাকা নির্ণয় করা যায়।
• ইনভার্স ম্যাট্রিক্স: নির্ণায়ক ব্যবহার করে একটি ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স (বিপরীত) নির্ণয় করা হয়।

এই ছিল নির্ণায়ক সম্পর্কে একটি সারাংশ, যা ম্যাট্রিক্স অ্যালজেব্রা ও গণিতের অনেক গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সমস্যার সমাধান করতে সহায়ক।