বিভিন্ন প্রকারের চতুর্ভুজের কিছু সাধারণ ধর্ম রয়েছে । এ ধর্মগুলো উপপাদ্য আকারে প্রমাণ করা হলো।
উপপাদ্য ১
চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি চার সমকোণ৷
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD একটি চতুর্ভুজ।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠A+ ∠B + ∠C+ ∠D = 4 সমকোণ।
অঙ্কন : A ও C যোগ করি । AC কর্ণটি চতুর্ভুজটিকে ∆ABC ও ∆ADC দুইটি ত্রিভুজে বিভক্ত করেছে।
প্ৰমাণ :
| ধাপ | যথার্থতা |
|---|---|
(১) ∆ABC এ ∠BAC + ∠ACB + ∠B = 2 সমকোণ। (২) অনুরূপভাবে, ∆DAC এ ∠DAC + LACD + 2D = 2 সমকোণ। (৩) অতএব, ∠DAC + ∠ACD + ∠D + ∠BAC + ∠ACB + ∠B = (2+2) সমকোণ৷ (8) ∠DAC + ∠BAC = ∠A এবং ∠ACD + ∠ACB = ∠C সুতরাং, ∠A+ ∠B + ∠C + ∠D= 4 সমকোণ (প্রমাণিত) | [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 2 সমকোণ]
[ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 2 সমকোণ]
[(১) ও (২) থেকে] [সন্নিহিত কোণের যোগফল] [সন্নিহিত কোণের যোগফল] [(৩) থেকে] |
উপপাদ্য ২
সামান্তরিকের বিপরীত বাহু ও কোণগুলো পরস্পর সমান।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD একটি সামান্তরিক এবং
AC ও BD তার দুইটি কর্ণ । প্রমাণ করতে হবে যে,
(ক) AB বাহু = CD বাহু, AD বাহু = BC বাহু
(খ) ∠BAD = ∠BCD, ∠ABC = ∠ADC
প্ৰমাণ :
| ধাপ | যথার্থতা |
|---|---|
(১) AB B DC এবং AC তাদের ছেদক, সুতরাং BAC = LACD (২) আবার, BC II AD এবং AC তাদের ছেদক, সুতরাং ∠ACB = ZDAC (৩) এখন ∠ABC ও DC এ ∠BAC = ∠ACD, ∠ACB = ∠DAC এবং AC বাহু সাধারণ। ∴ ABC ≅ MDC অতএব, AB = CD, BC = AD ও ∠ABC = ∠ADC অনুরূপভাবে, প্রমাণ করা যায় যে, ∆BAD ≅ ∆CD সুতরাং, ∠BAD = ∠BCD [প্রমাণিত] | [একান্তর কোণ সমান]
[একান্তর কোণ সমান]
[ত্রিভুজের কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য]
|
কাজ : ১ । প্রমাণ কর যে, চতুর্ভুজের এক জোড়া বিপরীত বাহু পরস্পর সমান ও সমান্তরাল হলে, তা একটি সামান্তরিক  ২। দেওয়া আছে, ∠BCD চতুর্ভুজে AB = CD এবং ∠ABD = ∠BDC. প্রমাণ কর যে, ∠BCD একটি সামান্তরিক। |
উপপাদ্য ৩
সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD সামান্তরিকের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, AO = CO, BO = DO
প্রমাণ :
| ধাপ | যথার্থতা |
|---|---|
(১) AB ও DC রেখাদ্বয় সমান্তরাল এবং AC এদের ছেদক। অতএব, ∠BAC = একান্তর ∠ACD (২) AB ও DC রেখাদ্বয় সমান্তরাল এবং BD এদের ছেদক। সুতরাং, ∠BDC = একান্তর ∠ABD (৩) এখন, AAOB ও ACOD এ A ∠OAB = ∠OCD, ∠OBA = ∠ODC এবং AB = DC সুতরাং, ∆AOB ≅ ∆COD অতএব, AO = CO এবং BO = DO (প্রমাণিত) | [একান্তর কোণ সমান]
[একান্তর কোণ সমান]
∵ ∠BAC = ∠ACD; ∠BDC = ∠ABD [ত্রিভুজের কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য]
|
| কাজ : ১। প্রমাণ কর যে, চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে তা একটি সামান্তরিক। |
উপপাদ্য ৪
আয়তের কর্ণদ্বয় সমান ও পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD আয়তের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে,
(i) AC = BD
(ii) AO = CO, BO = DO
প্ৰমাণ :
| ধাপ | যথার্থতা |
|---|---|
(১) আয়ত একটি সামান্তরিক। সুতরাং, AO=CO, BO=DO (২) এখন ∆ABD ও ∆ACD এ AB = DC এবং AD = AD অন্তর্ভূক্ত ZDAB = অন্তর্ভূক্ত ZADC সুতরাং, ∆ABD = ∆ACD অতএব, AC = BD (প্রমাণিত) | [সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]
[সামান্তরিকের বিপরীত বাহু পরস্পর সমান] [সাধারণ বাহু] [প্রত্যেকে সমকোণ] [ত্রিভুজের বাহু-কোণ - বাহু - উপপাদ্য]
|
কাজ : ১। প্রমাণ কর যে, আয়তের প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ। |
উপপাদ্য ৫
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD রম্বসের
AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে,
(i) ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 1 সমকোণ
(ii) AO = CO, BO = DO
প্রমাণ :
| ধাপ | যথার্থতা |
|---|---|
(১) রম্বস একটি সামান্তরিক। সুতরাং, AO=CO, BO=DO (২) এখন AAOB ও ABOC এ AB = BC AO=CO এবং OB = OB অতএব, ∆AOB = ∆BOC | [ সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে ]
[রম্বসের বাহুগুলো সমান] [(১) থেকে] [সাধারণ বাহু] [ত্রিভুজের বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য] |
সুতরাং ∠AOB = ∠BOC
∠AOB + ∠BOC = 1 সরলকোণ = 2 সমকোণ।
∠AOB = ∠BOC =1 সমকোণ।
অনুরূপভাবে, প্রমাণ করা যায় যে,
∠COD = ∠DOA = 1 সমকোণ (প্রমাণিত)
কাজ : ১। দেখাও যে, বর্গের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান এবং পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। ২। একজন রাজমিস্ত্রী একটি আয়তাকার কংক্রিট স্ল্যাব তৈরি করেছেন। তিনি কত বিভিন্ন ভাবে নিশ্চিত হতে পারেন যে তাঁর তৈরি স্ল্যাবটি সত্যিই আয়তাকার? |
Download Our Mobile Apps
