On This Page

সমতুল সেট(Equivalent set)

নবম-দশম শ্রেণি (মাধ্যমিক) - উচ্চতর গণিত - সেট ও ফাংশন | NCTB BOOK

ধরি, A = {1,2,3} এবং B = {a, b, c} দুইটি সেট। নিচের চিত্রে A ও B সেটদ্বয়ের মধ্যে একটি এক-এক মিল স্থাপন করে দেখানো হলো:

সংজ্ঞা ২ (সমতুল সেট). যেকোনো সেট A ও B এর মধ্যে যদি একটি এক-এক মিল $A \leftrightarrow B$ বর্ণনা করা যায়, তবে A ও B কে সমতুল সেট বলা হয়। A ও B কে সমতুল বোঝাতে $A ~ B$ লেখা হয়। $A ~ B$ হলে, এদের যেকোনো একটিকে অপরটির সাথে সমতুল বলা হয়। লক্ষণীয় যে, যেকোনো সেট A, B ও C এর জন্য

ক) $A ~ A$

খ) $A ~ B$ হলে $B ~ A$

গ) $A ~ B$ এবং $B ~ C$ হলে $A ~ C$

উদাহরণ ১২. দেখাও যে, A={1, 2, 3, · · ·, n} এবং B={1, 3, 5, · · ·, 2n – 1} সেটদ্বয় সমতুল, যেখানে n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।

সমাধান: A ও B সমতুল, কারণ সেট দুইটির মধ্যে নিচের মতো একটি এক-এক মিল রয়েছে।

মন্তব্য: উপরে চিত্রিত এক-এক মিলটিকে $A \leftrightarrow B : k \leftrightarrow 2 k - 1, k \in A$ দ্বারা বর্ণনা করা যায়।

উদাহরণ ১৪. দেখাও যে, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N এবং জোড় সংখ্যার সেট A = {2, 4, 6, 2n, · } সমতুল।

সমাধান: N = {1, 2, 3, , n, . . . } ও A সমতুল সেট, কারণ N এবং A এর মধ্যে নিচের চিত্রের মতো একটি এক-এক মিল রয়েছে।

মন্তব্য: উপরে চিত্রিত এক-এক মিলটিকে $N \leftrightarrow A : n \leftrightarrow 2 n, n \in N$ দ্বারা বর্ণনা করা যায়।

দ্রষ্টব্য: ফাঁকা সেট কে নিজের সমতুল ধরা হয়। অর্থাৎ, ~

প্রতিজ্ঞা 8. প্রত্যেক সেট A তার নিজের সমতুল। অর্থাৎ, $A ~ A$

প্রমাণ: $A = \emptyset$ হলে, $A ~ A$ ধরা হয়। আর $A \neq \emptyset$ হলে প্রত্যেক সদস্য এর সঙ্গে তার নিজেকে মিল করে এক-এক মিল $A \leftrightarrow A : x \leftrightarrow x, x \in A$ স্থাপিত হয়। সুতরাং $A ~ A$ ।

প্রতিজ্ঞা ৫. A ও B সমতুল সেট এবং B ও C সমতুল সেট হলে A ও C সমতুল সেট।

প্রমাণ: যেহেতু $A ~ B$ , সুতরাং $A$ এর প্রত্যেক সদস্য $x$ এর সঙ্গে $B$ এর একটি অনন্য সদস্য এর মিল করা যায়। আবার যেহেতু $B ~ C$ , সুতরাং $B$ এর এই সদস্য $y$ এর সঙ্গে $C$ এর একটি অনন্য সদস্য $z$ এর মিল করা যায়। এখন $A$ এর সদস্য $x$ এর সঙ্গে $C$ এর সদস্য $z$ এর মিল করা হলে, $A$ ও $C$ সেটের মধ্যে একটি এক-এক মিল স্থাপিত হয়। অর্থাৎ, $A ~ C$ হয়।