On This Page

অসীম ধারার আংশিক সমষ্টি

নবম-দশম শ্রেণি (মাধ্যমিক) - উচ্চতর গণিত - অসীম ধারা | NCTB BOOK

$u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . . . . + u_{n} + . . . .$ অনন্ত ধারার

১ম আংশিক সমষ্টি $S_{1} = u_{1}$

২য় আংশিক সমষ্টি $S_{2} = u_{1} + u_{2}$

৩য় আংশিক সমষ্টি $S_{3} = u_{1} + u_{2} + u_{3}$

n তম আংশিক সমষ্টি $S_{r} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . . + u_{n}$

অর্থাৎ, কোনো অসীম ধারার n তম আংশিক সমষ্টি হচ্ছে ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি।

উদাহরণ ১. প্রদত্ত অসীম ধারা দুইটির আংশিক সমষ্টি নির্ণয় কর।

ক) $1 + 2 + 3 + . . . .$ খ) $1 - 1 + 1 - 1 + . . . . .$

সমাধান:
ক) ধারাটি একটি সমান্তর ধারা কারণ ধারাটির প্রথম পদ a = 1 এবং সাধারণ অন্তর d = 1।

সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_{n} = \frac{n}{2} \{2 a + (n - 1) d\} = \frac{n}{2} \{2.1 + (n - 1) . 1\}$
কাজেই $S_{n} = \frac{n}{2} \{2 + n - 1\} = \frac{n (n + 1)}{2}$

উপরের সূত্রে n এর বিভিন্ন মান বসিয়ে পাই,

$S_{10} = \frac{10 \times 11}{2} = 55$
$S_{1000} = \frac{1000 \times 1001}{2}$ $= 500500$

$S_{100000} = \frac{100000 \times 100001}{2} = 5000050000$

এভাবে, n এর মান যত বড় করা হয়, Sn এর মান তত বড় হয়।

সুতরাং প্রদত্ত অসীম ধারাটির কোনো সমষ্টি নাই ।

খ) $1 - 1 + 1 - 1 + . . . .$ অসীম ধারাটির

১ম আংশিক সমষ্টি $S_{1} = 1$

২য় আংশিক সমষ্টি $S_{2} = 1 - 1 = 0$

৩য় আংশিক সমষ্টি $S_{3} = 1 - 1 + 1 = 1$

৪র্থ আংশিক সমষ্টি $S_{4} = 1 - 1 + 1 - 1 = 0$

উপরের উদাহরণ থেকে দেখা যায় যে, n বিজোড় সংখ্যা হলে n তম আংশিক সমষ্টি $S_{n} = 1$ এবং n জোড় সংখ্যা হলে n তম আংশিক সমষ্টি $S_{n} = 0$

তাহলে দেখা যাচ্ছে যে, প্রদত্ত ধারাটির ক্ষেত্রে, এমন কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা পাওয়া যায় না যাকে ধারাটির সমষ্টি বলা যায়।

Content added By

Genius

আরও দেখুন...

অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি

অসীম ধারার আংশিক সমষ্টি

অসীম ধারার আংশিক সমষ্টি

On This Page

Promotion

Download Our Mobile Apps

Satt policy

Main Features

Subscribe our newsletter

Academy

অসীম ধারার আংশিক সমষ্টি

On This Page

Promotion

Download Our Mobile Apps

Satt policy

Main Features

Subscribe our newsletter