পৈসুঁবিন্যাসের ধর্মাবলী (Properties of Poisson Distribution)

পৈসুঁবিন্যাসের ক্ষেত্রে কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ ধর্মাবলী রয়েছে, যা এটি অন্য বিন্যাস থেকে আলাদা করে।

১. একক সময় বা স্থানের জন্য নির্দিষ্ট হার (\( \lambda \))

• একটি নির্দিষ্ট সময় বা স্থানের মধ্যে একটি ঘটনা সংঘটিত হওয়ার গড় হার \( \lambda \) ধ্রুবক থাকে।
• \( \lambda \) একটি ধনাত্মক সংখ্যা যা গড় এবং ভেদাঙ্ক উভয়ের জন্য প্রযোজ্য।

২. স্বাধীন ঘটনা

• প্রতিটি ঘটনা একে অপরের থেকে স্বাধীন।
• একটি ঘটনার সংঘটন পরবর্তী ঘটনার উপর কোনো প্রভাব ফেলে না।

৩. বিরল ঘটনা

• ঘটনাগুলি বিরল এবং নির্দিষ্ট সময় বা স্থানে একটি ছোট অংশে সংঘটিত হয়।
• \( n \to \infty \), \( p \to 0 \) এবং \( n \cdot p = \lambda \) শর্ত পূরণ করতে হবে।

৪. গড় ও ভেদাঙ্ক সমান

• পৈসুঁবিন্যাসে গড় এবং ভেদাঙ্ক সমান এবং উভয়ই \( \lambda \) এর সমান:
  \[
  E(X) = Var(X) = \lambda
  \]

৫. শুধুমাত্র প্রাকৃতিক সংখ্যা \( k \)

• পৈসুঁবিন্যাসে \( X \) র্যান্ডম ভেরিয়েবল শুধুমাত্র \( 0, 1, 2, \dots \) প্রাকৃতিক সংখ্যা গ্রহণ করতে পারে।

৬. যুক্ত পৈসুঁবিন্যাস

• যদি দুটি স্বাধীন পৈসুঁবিন্যাসের র্যান্ডম ভেরিয়েবল \( X_1 \) এবং \( X_2 \)-এর গড় \( \lambda_1 \) এবং \( \lambda_2 \) হয়, তবে তাদের যোগফলও একটি পৈসুঁবিন্যাস যার গড়:
  \[
  \lambda = \lambda_1 + \lambda_2
  \]

৭. সময় বা স্থান অনুযায়ী পরিবর্তন

• যদি ঘটনাগুলি সময় বা স্থানের উপর নির্ভরশীল হয়, তবে পৈসুঁবিন্যাসের জন্য \( \lambda \) সময় বা স্থানের সাথে পরিবর্তিত হতে পারে।

পৈসুঁবিন্যাসের ব্যবহার

পৈসুঁবিন্যাস বাস্তব জীবনের অনেক ক্ষেত্রে ব্যবহার হয়, বিশেষত যেখানে বিরল ঘটনা বিশ্লেষণ করা হয়। এর কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার নিচে দেওয়া হলো:

১. টেলিকমিউনিকেশন

• প্রতি মিনিটে একটি কল সেন্টারে আসা কলের সংখ্যা নির্ধারণে।
• উদাহরণ: একটি ফোন সেন্টারে প্রতি ঘন্টায় গড়ে \( 10 \) টি কল আসে। পৈসুঁবিন্যাস ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট সময়ে নির্দিষ্ট সংখ্যক কল আসার সম্ভাবনা বিশ্লেষণ করা যায়।

২. যানজট বিশ্লেষণ

• নির্দিষ্ট সময়ে একটি রাস্তায় যানবাহন আসার সংখ্যা বিশ্লেষণে।
• উদাহরণ: প্রতি মিনিটে একটি নির্দিষ্ট চেকপয়েন্ট দিয়ে গড়ে ৫টি যানবাহন চলাচল করে।

৩. উৎপাদন ও মান নিয়ন্ত্রণ

• একটি নির্দিষ্ট সময়ে উৎপাদিত পণ্যে ত্রুটি পাওয়ার সম্ভাবনা বিশ্লেষণে।
• উদাহরণ: একটি কারখানায় প্রতি ১০০টি পণ্যের মধ্যে গড়ে ২টি ত্রুটিপূর্ণ পণ্য পাওয়া যায়।

৪. স্বাস্থ্যসেবা

• হাসপাতালে জরুরি রোগীর আগমনের সংখ্যা বিশ্লেষণে।
• উদাহরণ: একটি হাসপাতালে প্রতি ঘণ্টায় গড়ে ৪ জন জরুরি রোগী আসে।

৫. জ্যোতির্বিদ্যা

• নির্দিষ্ট সময়ে বিরল মহাজাগতিক ঘটনা, যেমন নক্ষত্র বিস্ফোরণের সংখ্যা বিশ্লেষণে।

৬. অপরাধ বিশ্লেষণ

• একটি শহরের একটি এলাকায় নির্দিষ্ট সময়ে একটি অপরাধ সংঘটিত হওয়ার সম্ভাবনা নির্ধারণে।
• উদাহরণ: প্রতি সপ্তাহে একটি নির্দিষ্ট এলাকায় গড়ে ২টি অপরাধ ঘটে।

৭. বীমা

• নির্দিষ্ট সময়ে বীমার দাবি দাখিলের সংখ্যা বিশ্লেষণে।
• উদাহরণ: একটি কোম্পানিতে প্রতি মাসে গড়ে ৫টি দাবি দাখিল হয়।

সারসংক্ষেপ

পৈসুঁবিন্যাস বিরল এবং নির্দিষ্ট সময় বা স্থানের মধ্যে সংঘটিত ঘটনাগুলি বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়। এর গড় ও ভেদাঙ্ক সমান (\( \lambda \)) এবং এটি বাস্তব জীবনের সমস্যাগুলিতে, যেমন টেলিকমিউনিকেশন, যানজট, মান নিয়ন্ত্রণ, স্বাস্থ্যসেবা ইত্যাদিতে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।