বীজগণিতীয় সূত্রাবলি

অষ্টম শ্রেণি (মাধ্যমিক) - গণিত - বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও প্রয়োগ | NCTB BOOK

সপ্তম শ্রেণিতে বীজগণিতীয় প্রথম চারটি সূত্র ও এদের সাথে সম্পৃক্ত অনুসিদ্ধান্তগুলো সম্বন্ধে আলোচনা করা হয়েছে। এখানে সেগুলো পুনরুল্লেখ করা হলো।

(a + b)² এর জ্যামিতিক ব্যাখ্যাটি নিম্নরূপ :

সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (a + b) x (a + b) = (a + b)²

  (a + b)² = ax (a + b) + bx (a + b)

                      = a² + a² + a² + b² = a² + 2ab + b²
 

আবার, বর্গক্ষেত্রটির অংশগুলোর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি

a × a + a × b+ b × a + b × b

      = a² + ab + ab + b²

      = a² + 2ab + b²

লক্ষ করি, সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্রটির অংশগুলোর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি

 (a + b)² = a² + 2ab + b²

 

সপ্তম শ্রেণিতে যে সূত্র ও অনুসিদ্ধান্তগুলো সম্পর্কে জেনেছি তা হলো :

সূত্র ১। (a + b)² = a² + 2ab + b²

কথায়, দুইটি রাশির যোগফলের বর্গ = ১ম রাশির বর্গ + ২ × ১ম রাশি x ২য় রাশি + ২য় রাশির বর্গ।

সূত্র ১। (a - b)² = a² + 2ab + b²

কথায়, দুইটি রাশির বিয়োগফলের বর্গ = ১ম রাশির বর্গ – ২ × ১ম রাশি x ২য় রাশি + ২য় রাশির বর্গ।

সূত্র ৩। a² – b² = (a + b) (a – b)

কথায়, দুইটি রাশির বর্গের বিয়োগফল = রাশি দুইটির যোগফল x রাশি দুইটির বিয়োগফল

সূত্র 8। (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab

কথায়, দুইটি দ্বিপদী রাশির প্রথম পদ একই হলে, তাদের গুণফল হবে প্রথম পদের বর্গ, স্ব-স্ব চিহ্নযুক্ত দ্বিতীয় পদদ্বয়ের সমষ্টির সাথে প্রথম পদের গুণফল ও স্ব-স্ব চিহ্নযুক্ত দ্বিতীয় পদদ্বয়ের গুণফলের সমষ্টির সমান।

অর্থাৎ, (x + a)(x + b) = x² + (a এবং b এর বীজগণিতীয় যোগফল) x + (a এবং b এর গুণফল)

অনুসিদ্ধান্ত ১। a² + b² = (a + b)² – 2ab

অনুসিদ্ধান্ত ২। a² + b² = (a – b)² + 2ab

অনুসিদ্ধান্ত ৩। (a + b)²= (a – b)² + 4ab

অনুসিদ্ধান্ত ৪। (a – b)² = (a + b)² - 4ab

অনুসিদ্ধান্ত ৫। 2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²

অনুসিদ্ধান্ত ৬। 4ab = (a + b)² – (a - b)²

                    বা, ab=a+b22-a-b22

 

উদাহরণ ১। 3x+5y এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান : (3x+5y)2=(3x)2+ 2×3x×5y+(5y)2

                                     =9x2+30xy+ 25y2

 

উদাহরণ ২। বর্গের সূত্র প্রয়োগ করে 25 এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান : (25)2=(20 + 5)2=(20)2+ 2×20×5 +(5)2

                            =400+200+25

                            =625

 

উদাহরণ ৩। 4x7y এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান : (4x7y)2=(4x)22×4x×7y+(7y)2

                                    =16x256xy+49y2

 

উদাহরণ ৪। a+b=8 এবং ab=15 হলে, a2+b2 এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : a2+b2=(a+b)22ab

                               =(8)22×15

                               =64-30

                               =34

 

উদাহরণ ৫। a-b=7 এবং ab=60 হলে, a2+b2 এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : a2+ b2=(ab)2+2ab

                                 =(7)2+2×60

                                 =49+120

                                 =169

 

উদাহরণ ৬। xy=3 এবং xy=10 হলে, (x + y)2এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : (x+y)2=(x-y)2+4xy

                                =(3)2+4×10

                                =9+40

                                =49

 

উদাহরণ ৭। a+b=7 এবং ab=10 হলে, (ab)2 এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : (ab)2=(a+b)2-4ab

                              =(7)24×10

                              =49-40

                              =9

 

উদাহরণ ৮। x-1x=5 হলে, x+1x2 এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : x+1x2=x-1x2+4.x.1x

                                     =(5)2+4

                                     =25+4

                                     =29

কাজ :
  ১। 2a+5b এর বর্গ নির্ণয় কর।

  ২। 4x7 এর বর্গ নির্ণয় কর।

  ৩। a+b=7 এবং ab=9 হলে, a2+b2 এর মান নির্ণয় কর।

  8। x-y=5 এবং xy=6 হলে, (x+y)2 এর মান নির্ণয় কর।

 

উদাহরণ ৯। সূত্রের সাহায্যে 3p+4 কে 3p4 দ্বারা গুণ কর।

সমাধান : (3p+4)(3p-4 )=(3p)2(4)2  [(a + b)(a  b) = a2b2]

                             =9p216

 

উদাহরণ ১০। সূত্রের সাহায্যে 5m+8 কে 5m+9 দ্বারা গুণ কর।

সমাধান : আমরা জানি, (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

(5m+8)(5m+9)=(5m)2+(8+9)×5m+8×9

                                             =25m2+17×5m+72

                                             = 25m2+85m 72

 

উদাহরণ ১১। সরল কর : (5a-7b)2+2(5a-7b)(9b-4a)+(9b-4a)2

সমাধান : ধরি, (5a-7b)=x এবং 9b-4a=y

 প্রদত্ত রাশি =x2+2xy+y2

                     =(x+y)2

                     =(5a-7b+9b-4a)2

                     =(a+2b)2

                     =a2+4ab+4b2

 

উদাহরণ ১২। (x+6)(x+4) কে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ কর।

সমাধান : আমরা জানি, ab=(a+b)22-a-b22

x+6x+4=x+6+x+422-x+6-x+422

                               =2x+1022-222

                               =x+52-12

 

উদাহরণ ১৩। x=4, y=-8 এবং z=5 হলে, 25x+y2-20x+yy+z+4y+z2 এর মান কত?

সমাধান : ধরি, x+y=a এবং y+z=b

  প্রদত্ত রাশি =25a2-20ab+4b2

                      =(5a)2-2×5a×2b+(2b)2

                      =(5a-2b)2

                      ={5(x+y)-2(y+z)}2          [a ও b এর মান বসিয়ে]

                      =(5x+5y-2y-2z)2

                      =(5x+3y-2z)2

                      ={5×4+3(-8)-2×5}2         [x, y ও z এর মান বসিয়ে]

                      =(20-24-10)2

                      =(-14)2=196

কাজ :      ১ । সূত্রের সাহায্যে (5x+7y) ও (5x - 7y) এর গুণফল নির্ণয় কর।

                ২ । সূত্রের সাহায্যে (x+10) ও (x-14) এর গুণফল নির্ণয় কর।

                ৩। (4x-3y) ও (6x+5y) কে দুইটি রাশির বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশ কর।

a+b+c2 জ্যামিতিক ব্যাখ্যা :

সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল

(a+b+c)(a+b+c)=(a+b+c)2

(a+b+c)2=a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)

=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ca+bc+c2

=a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

 

আবার, বর্গক্ষেত্রটির অংশগুলোর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি

=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2

=a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2

=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

 

লক্ষ করি, সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্রটির অংশগুলোর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

 

উদাহরণ ১৪।  2x + 3y + 5z  এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান : ধরি, 2x=a, 3y=b এবং 5z=c

প্রদত্ত রাশির বর্গ =(a+b+c)2

                            =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

                      =(2x)2+(3y)2+(5z)2+2×2x×3y+2×3y×5z+2×2x×5z [a,bও c এর মান বসিয়ে]

                      =4x2+9y2+25z2+12xy+30yz+20xz 

4x+3y+5z)2=4x2+9y2+25z2+12xy+30yz+20xz

 

উদাহরণ ১৫।  15a-6b-7c এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান : (5a-6b-7c)2={5a-(6b+7c)}2

                 =(5a)2-2*5a(6b+7c)+(6b+7c)2

                 =25a2-10a(6b+7c)+(6b)2+2×6b×7c+(7c)2

                 =25a2-60ab-70ac+36b2+84bc+49c2

                 =25a2+36b2+49c2-60ab+84bc-70ac

বিকল্প সমাধান :

আমরা জানি, (x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz

এখানে, 5a=x,-6b=y এবং -7c=z ধরে 

(5a-6b-7c)2=(5a)2+(-6b)2+(-7c)2

                                 +2(5a)(- 6b) + 2(- 6b)(- 7c) + 2(5a)(- 7c)

                           =25a2+36b2+49c2-60ab+84bc-70ac

কাজ : সূত্রের সাহায্যে বর্গ নির্ণয় কর :

১। ax+by+c          ২। 4x+5y-7z

Content added || updated By

আরও দেখুন...

Promotion