পিথাগোরাসের উপপাদ্য

অষ্টম শ্রেণি (দাখিল) - গণিত - পিথাগোরাসের উপপাদ্য | NCTB BOOK

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টির সমান।

(দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে)

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B = 90°

অঙ্কন : BC কে D পর্যন্ত বর্ধিত করি, যেন CD = AB = c হয়।

D বিন্দুতে বর্ধিত BC এর উপর DE লম্ব আঁকি, যেন DE = BC = a হয়। C, E ও A, E যোগ করি।

প্ৰমাণ :

ধাপযথার্থতা

(১) ∠ABC ও ACDE এ AB = CD = c, BC = DE = a

       এবং অন্তর্ভুক্ত ∠ABC = অন্তর্ভুক্ত ∠CDE

       সুতরাং, ∆ABC ≅ ∆CDE

       ∴ AC = CE = b এবং ∠BAC = ∠ECD

(২) আবার, AB ⊥ BD এবং ED ⊥ BD বলে AB || ED 

       সুতরাং, ABDE একটি ট্রাপিজিয়াম।

(৩) তদুপরি, ∠ACB + ∠BAC = ∠ACB + ∠ECD = এক সমকোণ।

       ∴ ∠ACE = এক সমকোণ। ∴ ∆ACE সমকোণী ত্রিভুজ।

       এখন ABDE ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= ( ∆ ক্ষেত্র ABC +  ∆ ক্ষেত্র CDE +  ∆ ক্ষেত্র ACE)

    বা, 12BDab+DE=12ac+12ac+12b2

    বা, 12BC+CDAB+DE=12ac+12ac+12b2

    বা, (a + c) (a + c) = 2ac + b2   [2 দ্বারা গুণ করে]

    বা, a2 + 2ac + c2 = 2ac + b2

    ∴ b2 = c2 + a2 (প্রমাণিত)

[প্রত্যেকে সমকোণ]

 

 

[বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

 

 

∴ ∠BAC = ∠ECD

 

 

 

[ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =12 সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল x সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব]

 

 

 

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিকল্প প্রমাণ

(সদৃশকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে)

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ZC = 90° এবং অতিভুজ AB = C, BC = a, AC = b প্রমাণ করতে হবে যে, AB2 = AC2 + BC2

অর্থাৎ c2 = a2 + b2

অঙ্কন : C বিন্দু থেকে অতিভুজ AB এর উপর লম্ব CH অঙ্কন করি। AB অতিভুজ H বিন্দুতে d ও e অংশে বিভক্ত হলো। 

প্ৰমাণ :

ধাপযথার্থতা

∆ВСН ও ∆АВС এ

∠BHC = ∠ACB এবং

∠CBH = ∠ABC

(১) ∴ ∆CBH ও ∆ABC সদৃশ।

       ∴ BCAB+BHBC 

       ∴ ac+ea … …(1)

(২) অনুরূপভাবে ∆ACH ও ∆ABC সদৃশ৷

       ∴ bc=db … … (2)

(৩) অনুপাত দুইটি থেকে পাই,

       a2 = c × e, b2 = c × d

       অতএব, a2 + b2 = c × e + c × d

                                  = c (e + d) = c × e = c2

∴ c 2 = a2 + b2 [প্রমাণিত]

প্রত্যেকেই সমকোণ

সাধারণ কোণ

 

 

 

 

 

 

 

[(i) উভয় ত্রিভুজ সমকোণী 

(ii) ZA কোণ সাধারণ]

 

      ∵ c = e + d

 

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিকল্প প্রমাণ

(বীজগণিতের সাহায্যে)

পিথাগোরাসের উপপাদ্য বীজগণিতের সাহায্যে সহজেই প্রমাণ করা যায়।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের
অতিভুজ c এবং a, b যথাক্রমে অন্য দুই বাহু।

প্রমাণ করতে হবে, c2 = a2 + b2

অঙ্কন : প্রদত্ত ত্রিভুজটির সমান করে চারটি ত্রিভুজ চিত্রে প্রদর্শিত উপায়ে আঁকি।

প্ৰমাণ :

ধাপযথার্থতা

(১) অঙ্কিত বড় ক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্র।

এর ক্ষেত্রফল (a + b)2

(২) ছোট চতুৰ্ভুজ ক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্র।

এর ক্ষেত্রফল c2

(৩) অঙ্কনানুসারে, বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল চারটি ত্রিভুজক্ষেত্র ও ছোট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

অর্থাৎ, a+b2=4×12×a×b×c2

বা, a2 + 2ab + b2 = 2ab+c2

∴ c2 = a2 + b2 (প্রমাণিত)

[বাহুগুলোর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a+b এবং কোণগুলো সমকোণ]

 

[বাহুগুলোর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য c]

 

 

 

 

 

কাজ : ১। (a–b)2 এর বিস্তৃতির সাহায্যে পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি প্রমাণ কর।
Content added || updated By

আরও দেখুন...

Promotion