$\mathrm{Let}, \mathrm{I}=\int 2^{\ln \mathrm{x}}\mathrm{dx}=2^{\ln \mathrm{x}}\int dx-\int \left({\frac{d}{dx}}^{\left(2^{\ln x}\right)}\int dx\right)dx$

$=2^{\ln x}.x-\int 2^{\ln \mathrm{x}}.ln2.\frac{1}{x}.x dx=x 2^{\ln \mathrm{x}}-ln2\int 2^{\ln \mathrm{x}}dx$

$=x 2^{\ln \mathrm{x}}-I.ln2$

$\therefore I+I ln2=x 2^{\ln \mathrm{x}}$

$\Rightarrow I\left(I+ln2\right)=x 2^{\ln \mathrm{x}}$

$\Rightarrow I=\frac{x 2^{\ln \mathrm{x}}}{1+ln2}+C$

$\overrightarrow{\mathrm{r}}=12\sqrt{\mathrm{t}}\widehat{\mathrm{i}}+{\mathrm{t}}^{\frac{3}{2}}\widehat{\mathrm{j}}$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{r}}}{\mathrm{dt}}=6{\mathrm{t}}^{-\frac{1}{2}}\widehat{\mathrm{i}}+\frac{3}{2}.{\mathrm{t}}^{\frac{1}{2}}\widehat{\mathrm{j}}$

$\therefore \mathrm{v}=\left|\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{r}}}{\mathrm{dt}}\right|=\sqrt{\frac{36}{\mathrm{t}}+\frac{9}{4}\mathrm{t}}$

$\therefore \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{36}{\mathrm{t}}+\frac{9}{4}\mathrm{t}}}\left(\frac{36}{-{\mathrm{t}}^2}+\frac{9}{4}\right)=0$

$\Rightarrow \frac{36}{-{\mathrm{t}}^2}+\frac{9}{4}=0$

$\Rightarrow \frac{36}{t^2}=\frac{9}{4}$

$\Rightarrow t^2=16$

$\Rightarrow t=\pm 4 sec$

$\because$সময় সর্বদা অঋণাত্মক $\therefore 4 sec$

এখানে, $t=4 sec$ গতি সর্ব নিম্ন হবে।

$V_{min}=\sqrt{\frac{36}{4}+\frac{9}{4}.4}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

$=4.24 m{s}^{-1}$

${\tan }^{-1}\left(x+\alpha \right)-{\tan }^{-1}\left(x\right)=\frac{\pi }{4}$

$\Rightarrow {\tan }^{-1}\left(\frac{x+\alpha -x}{1+\left(x+\alpha \right)x}\right)=\frac{\pi }{4}$

$\Rightarrow \frac{\alpha }{1+x\left(x+\alpha \right)}=tan\frac{\pi }{4}$

$\Rightarrow \frac{\alpha }{1+x\left(x+\alpha \right)x}=1$

$\Rightarrow 1+x\left(x+\alpha \right)=\alpha$

$\Rightarrow 1+x^2+\alpha x=\alpha$

$\Rightarrow x^2+\alpha x+1-\alpha =0$

$\Rightarrow x=\frac{-\alpha \pm \sqrt{{\alpha }^2-4\left(1-\alpha \right)}}{2}$

$=\frac{-\alpha \pm \sqrt{{\alpha }^2+4\alpha -4}}{2}$

$=\frac{-\alpha \pm \sqrt{{\left(\alpha +2\right)}^2-8}}{2}$

$\alpha$ সমান হলে, ${\left(\alpha +2\right)}^2-8=0$

$\Rightarrow {\left(\alpha +2\right)}^2=8$

$\alpha +2=2\sqrt{2}$

$\alpha =2\sqrt{2}-2=2\left(\sqrt{2}-2\right)$

তবে সম্ভাব্য মান

$x=\frac{-\alpha +\sqrt{{\alpha }^2+4\alpha -4}}{2}$

$\because x>0 \alpha >0$

$\because P\left(\overline{A}\right)=0.4$

$\Rightarrow P\left(\overline{A}\right)=1-0.4=0.6$

আবার, $P\left(A\cap B\right)=0.2$

$P\left(A\cap \overline{B}\right)=P\left(A\right)-P\left(A\cap B\right)=0.6-0.2=0.4$

$L.S.=\frac{2}{1+z}=\frac{2}{1+cos\theta +isin\theta }=\frac{2\left(1+cos\theta -isin\theta \right)}{\left\{{\left(1+cos\theta \right)}^2+si{n}^2\theta \right\}}$

$=\frac{2\left(1+cos\theta -isin\theta \right)}{1+2cos\theta +co{s}^2\theta +si{n}^2\theta }=\frac{2\left(1+cos\theta -isin\theta \right)}{1+1+2cos\theta }$

$=\frac{2\left(1+cos\theta -isin\theta \right)}{2+2cos\theta }=\frac{1+cos\theta -isin\theta }{1+cos\theta }$

$=1-i\frac{\sin \theta }{1+cos\theta }=1-i\frac{2sin\frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}}{2co{s}^2\frac{\theta }{2}}$

$=1-i\frac{\sin \frac{\theta }{2}}{\cos \frac{\theta }{2}}=1-i tan\frac{\theta }{2}=R.S \left[showed\right]$

সর্বোচ্চতা, $H=\frac{u^2}{2g}$  এর অর্ধেক দূরত্ব, $\frac{H}{2}=\frac{u^2}{4g}$

যদি এই অর্ধেক দূরত্ব যেতে  সময় লাগে তবে

$\frac{H}{2}=ut-\frac{1}{2}g{t}^2\Rightarrow \frac{u^2}{4g}=ut-\frac{1}{2}g{t}^2$

$\Rightarrow u^2=4gut-2g^2{t}^2\Rightarrow 2g^2{t}^2-4gut+4^2=0$

$\therefore t=\frac{4gu\pm \sqrt{16g^2{u}^2-8g^2{u}^2}}{4g^2}=\frac{4gu}{4g^2}\pm \frac{\sqrt{8g^2{u}^2}}{4g^2}$

$=\frac{u}{g}\pm \frac{2\sqrt{2}gu}{4g^2}=\frac{u}{g}\pm \frac{u}{\sqrt{2}g}$

উত্থান কালে সময় কম লাগবে তাই, $t=\frac{u}{g}-\frac{u}{\sqrt{2}g}=\frac{u}{g}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

$=\frac{u}{g}.\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}.\frac{u}{g}$

ধরি, $C\left(0,b\right)$

BC এর ঢাল$=\frac{b-0}{0+a}=\frac{b}{a}$

CA এর ঢাল$=\frac{b-0}{0-2a}=-\frac{b}{2a}$

$\because BC\perp CA$

ঢালদ্বয়ের গুণফল=-1

$\Rightarrow \frac{b}{a}\times -\frac{b}{2a}=-1$

$\Rightarrow b^2=2a^2$

$\Rightarrow b=\pm \sqrt{2}a$

$\therefore c\equiv \left(0, \sqrt{2}a\right)$ এবং $\left(0, -\sqrt{2}a\right)$

ABC বৃত্তের ব্যাস AB কারণ $\angle C={90}^{\circ }$

$\therefore △ABC$ বৃত্তের সমীকরণ, $\left(x+a\right)\left(x-2a\right)+\left(y-0\right)\left(y-0\right)=0$

$\Rightarrow x^2-2ax+ax-2a^2+y^2=0$

$\Rightarrow x^2+y^2-ax-2a^2=0$

আমরা জানি, ভূ-পৃষ্ট থেকে নিচে কোনো বিন্দুতে কোনো বস্তুর ত্বরণ তথা অভিকর্ষজ ত্বরণ, $\mathrm{a}=\mathrm{g}=\frac{4}{3}G\pi \left(R\mathit{-}h\right)\rho$

এখানে, R=পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, h=ভূ-পৃষ্ঠ থেকে ঐ বিন্দুর গভীরতা এবং  $\rho$=পৃথিবীর গড় ঘনত্ব। $\left(R-h\right)$ হচ্ছে পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে ঐ বিন্দুর দূরত্ব। একে  দ্বারা প্রকাশ করলে আমরা পাই, $a=-\frac{4}{3}G\pi x\rho$

ত্বরণ পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে সরণের বিপরীতমুখী হওয়ার চিহ্ন ঋণাত্মক হয়েছে। বস্তুর ভর m হলে এর ওপর ক্রিয়াশীল বল, 

$F=ma=-\frac{4}{3}G\pi x\rho =-kx$[এখানে,  $\frac{4}{3}G\pi m\rho =k$=ধ্রুব সংখ্যা]

$\therefore a=-\frac{k}{m}x=-{\omega }^{2}x$

এটি সরল ছন্দিত স্পন্দনের সমীকরণ। সুতরাং পৃথিবীর যেকোনো ব্যাস বরাবর সুড়ঙ্গ পথে বস্তুর গতি সরল ছন্দিত স্পন্দন গতি। এর পর্যায়কাল,

$T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{4}{3}G\pi m\rho }}=\sqrt{\frac{3\pi }{G\rho }} \left(Ans\right)$

এখানে, ${\mathrm{T}}_1={27}^{\circ }\mathrm{C}=\left(27+273\right)\mathrm{K}=300\mathrm{K}$

প্রাথমিক গড় বেগ=${\mathrm{c}}_1$

চূড়ান্ত গড় বেগ, ${\mathrm{c}}_2=2{\mathrm{c}}_1$

আমরা জানি, $\frac{{\mathrm{c}}_2}{{\mathrm{c}}_1}=\sqrt{\frac{{\mathrm{T}}_2}{3000}}$

$\Rightarrow \frac{2{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{c}}_1}=\sqrt{\frac{{\mathrm{T}}_2}{3000}}$

$\Rightarrow 2=\sqrt{\frac{{\mathrm{T}}_2}{300}}$

$\Rightarrow 4=\frac{{\mathrm{T}}_2}{300}$

$\therefore {\mathrm{T}}_2=\left(4\times 300\right)=1200\mathrm{k}$

এখানে, ${\mathrm{W}}_0=3.45 \mathrm{eV}=\left(3.45\times 1.6\times {10}^{-19}\right)\mathrm{J}$

আমরা জানি, ${\mathrm{W}}_0={\mathrm{hf}}_0$

$\Rightarrow {\mathrm{W}}_0=\mathrm{h}\frac{\mathrm{c}}{{\mathrm{\lambda }}_0}\Rightarrow {\mathrm{\lambda }}_0=\frac{\mathrm{hc}}{{\mathrm{W}}_0}$

$=\frac{6.63\times {10}^{-34}\times 3\times {10}^8}{3.45\times 1.6\times {10}^{-19}}\mathrm{m}=3.6\times {10}^{-7}\mathrm{m} \left(\mathrm{Ans}\right)$