উদ্দীপকে আউটপুট F এর সরলীকৃত মান হবে-

উদ্দীপকে একটি ডিজিটাল লজিক সার্কিট (Digital Logic Circuit) দেখানো হয়েছে যেখানে দুটি লজিক গেট (Logic Gate) সংযুক্ত আছে। আউটপুট F এর সরলীকৃত মান বের করার জন্য ধাপে ধাপে গেটগুলোর আউটপুট নির্ণয় করতে হবে।

বিস্তারিত সমাধান:

চিত্র অনুযায়ী, সার্কিটটিতে দুটি প্রধান গেট রয়েছে:

    
1. প্রথম গেটটি হলো একটি নর গেট (NOR gate) যার ইনপুট (Input) দুটি হলো A এবং B।
    
2. দ্বিতীয় গেটটি হলো একটি এক্স-অর গেট (XOR gate)। এই গেটের একটি ইনপুট হলো A এবং অন্য ইনপুটটি হলো প্রথম নর গেটের আউটপুট।

এখন আমরা ধাপে ধাপে আউটপুট F এর মান নির্ণয় করি:

১. প্রথম নর গেটের আউটপুট:

ইনপুট A এবং B হলে, নর গেটের আউটপুট হবে: \(\overline{A+B}\)

২. দ্বিতীয় এক্স-অর গেটের আউটপুট F:

এক্স-অর গেটের ইনপুট দুটি হলো A এবং নর গেটের আউটপুট \(\overline{A+B}\)।

সুতরাং, F = \(A \oplus \overline{A+B}\)

এখন F এর এই এক্সপ্রেশনটিকে সরলীকরণ করতে হবে। এক্স-অর গেটের সাধারণ সূত্র হলো: \(X \oplus Y = X\overline{Y} + \overline{X}Y\)।

এই সূত্রটি প্রয়োগ করে আমরা পাই:

\(F = A \cdot \overline{(\overline{A+B})} + \overline{A} \cdot (\overline{A+B})\)

বুলিয়ান অ্যালজেব্রার নিয়ম অনুযায়ী, \(\overline{\overline{X}} = X\) (ডাবল নেগেশন) এবং \(\overline{X+Y} = \overline{X}\overline{Y}\) (ডি-মরগ্যানস থিওরেম)।

অতএব, আমরা পাই:

\(\overline{(\overline{A+B})} = A+B\)

\(\overline{A+B} = \overline{A}\overline{B}\)

এই মানগুলো F এর এক্সপ্রেশনে বসিয়ে পাই:

\(F = A \cdot (A+B) + \overline{A} \cdot (\overline{A}\overline{B})\)

এখন ডিস্ট্রিবিউটিভ ল (Distributive Law) এবং ইডেম্পোটেন্ট ল (Idempotent Law) ব্যবহার করে সরলীকরণ করি:

\(F = (A \cdot A) + (A \cdot B) + (\overline{A} \cdot \overline{A} \cdot \overline{B})\)

\(F = A + AB + \overline{A}\overline{B}\) (যেহেতু \(A \cdot A = A\) এবং \(\overline{A} \cdot \overline{A} = \overline{A}\))

এখন, \(A + AB\) কে সরল করি। বুলিয়ান অ্যালজেব্রায় \(X + XY = X\)। এটিকে অ্যাবজর্পশন ল (Absorption Law) এর একটি রূপ বলা হয়।

অথবা, \(A + AB = A(1+B)\)। যেহেতু \(1+B = 1\), তাই \(A(1+B) = A \cdot 1 = A\)।

সুতরাং, F এর এক্সপ্রেশনটি দাঁড়ায়:

\(F = A + \overline{A}\overline{B}\)

সর্বশেষে, বুলিয়ান অ্যালজেব্রার আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র হলো: \(X + \overline{X}Y = X+Y\)।

এই সূত্রটি প্রয়োগ করে (যেখানে \(X=A\) এবং \(Y=\overline{B}\)):

\(F = A + \overline{B}\)

অতএব, উদ্দীপকে আউটপুট F এর সরলীকৃত মান হবে \(A+\overline{B}\)।

এটি অপশন ৩ এর সাথে মিলে যায়।