একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3, 5, 7 একক হলে-
i. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $= \frac{15}{4}\sqrt{3}$
ii. ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধ $=\frac{7\sqrt{3}}{3}$ একক
iii. ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম কোণ 30°
নিচের কোনটি সঠিক?

সংযুক্ত কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের বিভিন্ন সূত্র ও তাদের প্রয়োগ নিচে বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হলো। সংযুক্ত কোণের ক্ষেত্রে কোণটি মূল কোণের বিপরীত, সম্পূরক, সহযোজন, বা পূর্ণাঙ্গ হতে পারে। এই সূত্রগুলো বিভিন্ন কোণের ত্রিকোনমিতিক মান নির্ণয়ে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

১. বিপরীত কোণ (\(-\theta\)) এর ত্রিকোনমিতিক অনুপাত

কোনো কোণ \(\theta\) এর বিপরীত কোণ হলে সেই কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো নিম্নরূপ হবে:

• সাইন: \(\sin(-\theta) = -\sin \theta\)
• কোসাইন: \(\cos(-\theta) = \cos \theta\)
• ট্যানজেন্ট: \(\tan(-\theta) = -\tan \theta\)
• কোট্যানজেন্ট: \(\cot(-\theta) = -\cot \theta\)
• সেকেন্ট: \(\sec(-\theta) = \sec \theta\)
• কোসেকেন্ট: \(\csc(-\theta) = -\csc \theta\)

এই সূত্রগুলো থেকে দেখা যায় যে, সাইন, ট্যানজেন্ট, কোট্যানজেন্ট এবং কোসেকেন্টের মান বিপরীত কোণে উল্টে যায়, কিন্তু কোসাইন এবং সেকেন্টের মান অপরিবর্তিত থাকে।

২. সম্পূরক কোণ (\(90^\circ - \theta\)) এর ত্রিকোনমিতিক অনুপাত

কোনো কোণ \(\theta\) এর সম্পূরক কোণ হলে ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো নিম্নরূপ হয়:

• সাইন: \(\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta\)
• কোসাইন: \(\cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta\)
• ট্যানজেন্ট: \(\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta\)
• কোট্যানজেন্ট: \(\cot(90^\circ - \theta) = \tan \theta\)
• সেকেন্ট: \(\sec(90^\circ - \theta) = \csc \theta\)
• কোসেকেন্ট: \(\csc(90^\circ - \theta) = \sec \theta\)

সম্পূরক কোণে সাইন এবং কোসাইনের অনুপাত একে অপরের সমান হয়, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্ট, সেকেন্ট এবং কোসেকেন্টও একে অপরের পরিপূরক হয়ে থাকে।

৩. সহযোজন কোণ (\(180^\circ - \theta\)) এর ত্রিকোনমিতিক অনুপাত

কোনো কোণ \(\theta\) এর সহযোজন কোণ হলে ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো নিম্নরূপ হয়:

• সাইন: \(\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta\)
• কোসাইন: \(\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta\)
• ট্যানজেন্ট: \(\tan(180^\circ - \theta) = -\tan \theta\)
• কোট্যানজেন্ট: \(\cot(180^\circ - \theta) = -\cot \theta\)
• সেকেন্ট: \(\sec(180^\circ - \theta) = -\sec \theta\)
• কোসেকেন্ট: \(\csc(180^\circ - \theta) = \csc \theta\)

এখানে সাইন এবং কোসেকেন্টের মান অপরিবর্তিত থাকে, কিন্তু কোসাইন, ট্যানজেন্ট, কোট্যানজেন্ট এবং সেকেন্টের মান বিপরীত চিহ্ন পায়।

৪. পূর্ণাঙ্গ কোণ (\(360^\circ - \theta\)) এর ত্রিকোনমিতিক অনুপাত

কোনো কোণ \(\theta\) এর পূর্ণাঙ্গ কোণ হলে ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো নিম্নরূপ হয়:

• সাইন: \(\sin(360^\circ - \theta) = -\sin \theta\)
• কোসাইন: \(\cos(360^\circ - \theta) = \cos \theta\)
• ট্যানজেন্ট: \(\tan(360^\circ - \theta) = -\tan \theta\)
• কোট্যানজেন্ট: \(\cot(360^\circ - \theta) = -\cot \theta\)
• সেকেন্ট: \(\sec(360^\circ - \theta) = \sec \theta\)
• কোসেকেন্ট: \(\csc(360^\circ - \theta) = -\csc \theta\)

পূর্ণাঙ্গ কোণের ক্ষেত্রে, সাইন, ট্যানজেন্ট, কোট্যানজেন্ট এবং কোসেকেন্টের মান উল্টে যায়, কিন্তু কোসাইন এবং সেকেন্ট অপরিবর্তিত থাকে।

এই সূত্রগুলো ব্যবহার করে সংযুক্ত কোণের ত্রিকোনমিতিক মান দ্রুত নির্ণয় করা যায়, যা গণিতে সমীকরণ সমাধান এবং বিভিন্ন প্রয়োগে বিশেষভাবে সহায়ক।