একটি বস্তুর বেগ v$= (6r² + 3r) m{s}^{-1}, 3s$ পরে বস্তুর সরণ কত?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত বেগ ফাংশন, \(v = (6r^2 + 3r) \, ms^{-1}\)। এখানে, সাধারণত বেগ সময় (\(t\)) এর ফাংশন হয়। আমরা ধরে নিচ্ছি যে 'r' দ্বারা সময় (\(t\)) বোঝানো হয়েছে।

সুতরাং, \(v(t) = (6t^2 + 3t) \, ms^{-1}\)

আমরা জানি, কোনো বস্তুর বেগ ফাংশন থেকে সরণ বের করতে হলে বেগকে সময়ের সাপেক্ষে সমাকলন (integrate) করতে হয়।

সরণ \(s = \int v(t) \, dt\)

এখানে, \(t = 0\) থেকে \(t = 3\) সেকেন্ড পর্যন্ত সরণ নির্ণয় করতে হবে।

\(s = \int_{0}^{3} (6t^2 + 3t) \, dt\)

প্রথমে, সমাকলন করি:

\(\int (6t^2 + 3t) \, dt = \int 6t^2 \, dt + \int 3t \, dt\)

\(= 6 \frac{t^{2+1}}{2+1} + 3 \frac{t^{1+1}}{1+1}\)

\(= 6 \frac{t^3}{3} + 3 \frac{t^2}{2}\)

\(= 2t^3 + \frac{3}{2}t^2\)

এখন, নির্দিষ্ট সীমা (\(t=0\) থেকে \(t=3\)) প্রয়োগ করি:

\(s = [2t^3 + \frac{3}{2}t^2]_{0}^{3}\)

\(s = (2(3)^3 + \frac{3}{2}(3)^2) - (2(0)^3 + \frac{3}{2}(0)^2)\)

\(s = (2 \times 27 + \frac{3}{2} \times 9) - (0)\)

\(s = (54 + \frac{27}{2})\)

\(s = (54 + 13.5)\)

\(s = 67.5 \, m\)

সুতরাং, 3 সেকেন্ড পরে বস্তুর সরণ হবে 67.5 মিটার।