একটি বাঁশি 500Hz কম্পাঙ্কের শব্দ উৎপন্ন করে বাজাতে বাজাতে একজন শ্রোতাকে অতিক্রম করে 1.5m/s বেগে একটি খাড়া দেওয়ালের দিকে অগ্রসর হচ্ছে। শ্রোতাটি প্রতি সেকেন্ডে কয়টি স্বরকম্প শুনতে পাবে? [শব্দের বেগ 336m/sএবং বায়ু প্রবাহ নেই বলে ধরে নিয়ে]

ব্যাখ্যাঃ

যখন একটি শব্দ উৎস ও শ্রোতার মধ্যে আপেক্ষিক গতি থাকে, তখন শ্রোতা উৎস থেকে যে কম্পাঙ্ক শোনে তা উৎসের প্রকৃত কম্পাঙ্কের থেকে ভিন্ন হয়। এটি ডপলার ক্রিয়া (Doppler Effect) নামে পরিচিত। এই ক্ষেত্রে শ্রোতা দুটি ভিন্ন কম্পাঙ্কের শব্দ শুনবে: একটি বাঁশি থেকে সরাসরি আসা শব্দ এবং অন্যটি দেওয়াল থেকে প্রতিফলিত হয়ে আসা শব্দ। এই দুটি শব্দের কম্পাঙ্কের পার্থক্যের ফলে স্বরকম্প (beats) সৃষ্টি হবে।

এখানে প্রদত্ত তথ্যগুলো হলো:

    
• শব্দ উৎসের কম্পাঙ্ক, \(f_s = 500 \text{ Hz}\)
    
• শব্দ উৎসের বেগ (বাঁশির বেগ), \(v_s = 1.5 \text{ m/s}\)
    
• শব্দের বেগ, \(v = 336 \text{ m/s}\)
    
• শ্রোতার বেগ, \(v_L = 0 \text{ m/s}\) (স্থির)

বাঁশিটি শ্রোতাকে অতিক্রম করে দেওয়ালের দিকে অগ্রসর হচ্ছে, এর অর্থ বাঁশিটি শ্রোতা থেকে দূরে সরে যাচ্ছে এবং দেওয়ালের দিকে এগিয়ে যাচ্ছে।

১. বাঁশি থেকে সরাসরি আসা শব্দের কম্পাঙ্ক (\(f_1\)):

যেহেতু শব্দ উৎস (বাঁশি) স্থির শ্রোতা থেকে দূরে সরে যাচ্ছে, তাই শ্রোতা দ্বারা শোনা কম্পাঙ্ক হবে:

\[f_1 = f_s \left( \frac{v}{v + v_s} \right)\] \[f_1 = 500 \left( \frac{336}{336 + 1.5} \right)\] \[f_1 = 500 \left( \frac{336}{337.5} \right)\] \[f_1 = 500 \times \frac{3360}{3375}\] \[f_1 = \frac{4480}{9} \text{ Hz}\] \[f_1 \approx 497.778 \text{ Hz}\]

২. দেওয়াল থেকে প্রতিফলিত হয়ে আসা শব্দের কম্পাঙ্ক (\(f_2\)):

এই ক্ষেত্রে দুটি ধাপ রয়েছে:

    
1. দেওয়াল দ্বারা গৃহীত শব্দের কম্পাঙ্ক (\(f'\)): বাঁশিটি দেওয়ালের দিকে এগিয়ে যাচ্ছে। দেওয়ালকে একটি স্থির শ্রোতা হিসেবে বিবেচনা করলে, দেওয়াল দ্বারা গৃহীত শব্দের কম্পাঙ্ক হবে:
    \[f' = f_s \left( \frac{v}{v - v_s} \right)\]     \[f' = 500 \left( \frac{336}{336 - 1.5} \right)\]     \[f' = 500 \left( \frac{336}{334.5} \right)\]     \[f' = 500 \times \frac{3360}{3345}\]     \[f' = \frac{112000}{223} \text{ Hz}\]     \[f' \approx 502.242 \text{ Hz}\]     
2. প্রতিফলিত শব্দ শ্রোতা দ্বারা শোনা কম্পাঙ্ক (\(f_2\)): দেওয়াল দ্বারা গৃহীত এই \(f'\) কম্পাঙ্কের শব্দটিই প্রতিফলিত হয়ে স্থির শ্রোতার কাছে ফিরে আসবে। যেহেতু দেওয়াল একটি স্থির প্রতিফলক, এটি একটি নতুন স্থির উৎস হিসেবে \(f'\) কম্পাঙ্কের শব্দ নির্গত করছে। তাই শ্রোতা দ্বারা শোনা প্রতিফলিত শব্দের কম্পাঙ্ক হবে:
    \[f_2 = f'\]     \[f_2 = \frac{112000}{223} \text{ Hz}\]     \[f_2 \approx 502.242 \text{ Hz}\]

৩. প্রতি সেকেন্ডে স্বরকম্পের সংখ্যা (N):

শ্রোতা দুটি ভিন্ন কম্পাঙ্কের শব্দ শুনছে (\(f_1\) এবং \(f_2\))। প্রতি সেকেন্ডে স্বরকম্পের সংখ্যা হলো এই দুটি কম্পাঙ্কের পরম পার্থক্য:

\[N = |f_2 - f_1|\] \[N = \left| \frac{112000}{223} - \frac{4480}{9} \right|\] \[N = \left| \frac{112000 \times 9 - 4480 \times 223}{223 \times 9} \right|\] \[N = \left| \frac{1008000 - 998240}{2007} \right|\] \[N = \frac{9760}{2007}\] \[N \approx 4.86 \text{ Hz}\]

সবচেয়ে কাছাকাছি পূর্ণ সংখ্যায় প্রকাশ করলে, প্রতি সেকেন্ডে স্বরকম্পের সংখ্যা হবে \(5\)।