একটি সরল ছন্দিত দোলকের পর্যায়কালের ফর্মূলা কোনটি ?

একটি সরল ছন্দিত দোলক (Simple Harmonic Oscillator) হলো এমন একটি ব্যবস্থা যা সাম্যাবস্থা (equilibrium position) থেকে সরণের সমানুপাতিক এবং বিপরীত দিকে একটি প্রত্যয়নী বল (restoring force) অনুভব করে। এর ফলে বস্তুটি সাম্যাবস্থার চারপাশে সরল ছন্দিত গতিতে (Simple Harmonic Motion - SHM) দোলন করে। এর পর্যায়কাল (period) হলো একটি সম্পূর্ণ দোলন সম্পন্ন করতে যে সময় লাগে।

যখন একটি ভর (mass) \(m\) একটি স্প্রিং (spring) এর সাথে সংযুক্ত থাকে এবং স্প্রিং ধ্রুবক (spring constant) \(k\) হয়, তখন এই ভর-স্প্রিং সিস্টেমটি সরল ছন্দিত দোলকের মতো আচরণ করে। এই ক্ষেত্রে, নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র এবং হুকের সূত্র (Hooke's Law) ব্যবহার করে পর্যায়কালের সূত্রটি নির্ণয় করা যায়:

• হুকের সূত্র অনুযায়ী, প্রত্যয়নী বল \(F = -kx\), যেখানে \(x\) হলো সাম্যাবস্থা থেকে সরণ।
• নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র অনুযায়ী, \(F = ma\), যেখানে \(a\) হলো ত্বরণ।
• সুতরাং, \(ma = -kx\)।
• ত্বরণ \(a = -\frac{k}{m}x\)।

সরল ছন্দিত গতির আদর্শ সমীকরণ হলো \(a = -\omega^2 x\), যেখানে \(\omega\) হলো কৌণিক কম্পাঙ্ক (angular frequency)। এই দুটি সমীকরণ তুলনা করে পাই:

\(\omega^2 = \frac{k}{m}\)

\(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\)

আমরা জানি, পর্যায়কাল \(T\) এবং কৌণিক কম্পাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক হলো \(T = \frac{2\pi}{\omega}\)।

এখন \(\omega\) এর মান বসিয়ে পাই:

\(T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}}\)

\(T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)

এই সূত্রটি একটি ভর-স্প্রিং সিস্টেমের পর্যায়কাল নির্দেশ করে, যা সরল ছন্দিত দোলকের একটি উদাহরণ। এখানে, \(T\) হলো পর্যায়কাল, \(m\) হলো দোলকের ভর এবং \(k\) হলো স্প্রিং ধ্রুবক।

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে, অপশন 5 এই সঠিক সূত্রটিকে নির্দেশ করে: \(T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)।

অন্যান্য অপশনগুলো ভুল, কারণ:

• অপশন 1 \((T = 2\pi \sqrt{\frac{k}{m}})\) - এখানে \(m\) এবং \(k\) এর স্থান বিনিময় করা হয়েছে, যা ভুল।
• অপশন 2 ও 3 এ \(4\pi\) গুণকটি ভুল এবং ফর্মের গঠনও সঠিক নয়।
• অপশন 4 এ \(\omega\) এবং \(k\) এর গুণফল বর্গমূলের মধ্যে আছে, যা সঠিক সূত্র নয়।