এক ব্যবসায়ী 5600 টাকা বিনিয়োগ করে 1 বছর পর কিছু টাকার উপর 5% এবং বশিষ্ট টাকার উপর 4% লাভ করলেন। মোট লাভ 256 টাকা হলে , তিনি কত টাকার উপর 5% লাভ করলেন?

Created: 4 years ago | Updated: 1 year ago

Updated: 1 year ago

ক

2800 টাকা
খ

3200 টাকা
গ

2600 টাকা
ঘ

5600 টাকা

JU JU B Unit উচ্চতর গণিত 2016 জটিল সংখ্যার ধর্ম

2.3k

ব্যাখ্যাঃ

ধরি, ব্যবসায়ী \(5\%\) লাভে \(x\) টাকা বিনিয়োগ করেছিলেন।

তাহলে, \(4\%\) লাভে বিনিয়োগ করা টাকার পরিমাণ ছিল \((5600 - x)\) টাকা।

প্রথম অংশ থেকে লাভ:

\[ x \times 5\% = x \times \frac{5}{100} = \frac{5x}{100} \text{ টাকা} \]

দ্বিতীয় অংশ থেকে লাভ:

\[ (5600 - x) \times 4\% = (5600 - x) \times \frac{4}{100} = \frac{4(5600 - x)}{100} \text{ টাকা} \]

মোট লাভ \(256\) টাকা হওয়ায়, আমরা লিখতে পারি:

\[ \frac{5x}{100} + \frac{4(5600 - x)}{100} = 256 \]

উভয় পক্ষকে \(100\) দ্বারা গুণ করে:

\[ 5x + 4(5600 - x) = 256 \times 100 \] \[ 5x + 22400 - 4x = 25600 \] \[ x + 22400 = 25600 \]

\(x\) এর মান বের করতে \(22400\) কে ডান পাশে সরিয়ে নিই:

\[ x = 25600 - 22400 \] \[ x = 3200 \]

সুতরাং, তিনি \(3200\) টাকার উপর \(5\%\) লাভ করেছিলেন।

💡 শর্টকাট টেকনিক (মিশ্রণ পদ্ধতি বা Alligation Method):

মোট বিনিয়োগ = \(5600\) টাকা

মোট লাভ = \(256\) টাকা

গড় লাভের হার = \(\frac{\text{মোট লাভ}}{\text{মোট বিনিয়োগ}} \times 100\%\)

\[ = \frac{256}{5600} \times 100\% \] \[ = \frac{256}{56}\% \] \[ = \frac{32}{7}\% \]

এখন, মিশ্রণ পদ্ধতি ব্যবহার করে \(5\%\) এবং \(4\%\) হারে বিনিয়োগকৃত অর্থের অনুপাত নির্ণয় করব:

\(5\%\) হার		\(4\%\) হার
	\(\frac{32}{7}\%\) (গড়)
\(\left(\frac{32}{7} - 4\right)\%\)		\(\left(5 - \frac{32}{7}\right)\%\)
\(\left(\frac{32 - 28}{7}\right)\%\)		\(\left(\frac{35 - 32}{7}\right)\%\)
\(\frac{4}{7}\%\)		\(\frac{3}{7}\%\)

\(5\%\) লাভে বিনিয়োগ : \(4\%\) লাভে বিনিয়োগ \(= \frac{4}{7} : \frac{3}{7} = 4 : 3\)

মোট অনুপাতিক অংশ = \(4 + 3 = 7\)

\(5\%\) লাভে বিনিয়োগকৃত অর্থ = \(\frac{4}{7} \times 5600\) টাকা

\[ = 4 \times 800 \text{ টাকা} \] \[ = 3200 \text{ টাকা} \]

Satt AI

2 weeks ago

MCQ: 100

Practice

জটিল সংখ্যার ধর্ম

জটিল সংখ্যার কিছু গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম নিচে দেওয়া হলো:

১. যোগের ধর্ম

সংযোজন ধর্ম: \( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 \) অর্থাৎ দুটি জটিল সংখ্যা যোগ করলে যে কোনো ক্রমেই যোগফল একই থাকে।
সমিতি ধর্ম: \( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) \) অর্থাৎ তিনটি জটিল সংখ্যা যোগের ক্রম বদলালেও যোগফল অপরিবর্তিত থাকে।

২. বিয়োগের ধর্ম

বিয়োগের ক্রম: বিয়োগের ক্ষেত্রে ক্রম পরিবর্তন করলে ভিন্ন ফলাফল হতে পারে। যেমন, \( z_1 - z_2 \neq z_2 - z_1 \)।

৩. গুণনের ধর্ম

সংযোজন ধর্ম: \( z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1 \) অর্থাৎ দুটি জটিল সংখ্যা গুণ করলে যে কোনো ক্রমেই গুণফল একই থাকে।
সমিতি ধর্ম: \( (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) \) অর্থাৎ তিনটি জটিল সংখ্যা গুণের ক্রম বদলালেও গুণফল অপরিবর্তিত থাকে।
বন্টন ধর্ম: \( z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 \) অর্থাৎ একটি জটিল সংখ্যা অন্য দুটি সংখ্যার যোগফলের সঙ্গে গুণ করলে, প্রথম সংখ্যা পৃথকভাবে যোগের প্রতিটি অংশের সাথে গুণন হয়।

৪. কনজুগেটের ধর্ম

যোগের কনজুগেট: \( \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} \) অর্থাৎ দুটি জটিল সংখ্যার যোগের কনজুগেট নেওয়া হলে প্রতিটি সংখ্যার কনজুগেটের যোগ হয়।
গুণের কনজুগেট: \( \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \) অর্থাৎ দুটি জটিল সংখ্যার গুণফলের কনজুগেট হলো প্রতিটি সংখ্যার কনজুগেটের গুণফল।

৫. মডুলাসের ধর্ম

যোগের মডুলাস: \( |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2| \) অর্থাৎ দুটি জটিল সংখ্যার যোগের মডুলাস পৃথক মডুলাসের যোগের চেয়ে বড় বা সমান।
গুণের মডুলাস: \( |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \) অর্থাৎ দুটি জটিল সংখ্যার গুণফলের মডুলাস পৃথক মডুলাসের গুণফলের সমান।
ভাগের মডুলাস: \( \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \) (যদি \( z_2 \neq 0 \))।

৬. কনজুগেট ও মডুলাসের সম্পর্ক

একটি জটিল সংখ্যা \( z = a + bi \) এর কনজুগেট \( \overline{z} = a - bi \)। তাদের মডুলাস একই হবে: \( |z| = |\overline{z}| \)। এছাড়া \( z \cdot \overline{z} = |z|^2 \)।

৭. উল্ট সংখ্যা

জটিল সংখ্যার উল্ট সংখ্যা (Reciprocal) পেতে হলে কনজুগেট ব্যবহার করা হয়। \( z = a + bi \) এর উল্ট সংখ্যা \( \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} \)।

জটিল সংখ্যার এই ধর্মগুলো জটিল সংখ্যা বিশ্লেষণে বিশেষভাবে ব্যবহৃত হয়, যা ইলেকট্রনিক্স, সংকেত প্রক্রিয়াকরণ এবং অন্যান্য গণিতের ক্ষেত্রগুলোতে গুরুত্বপূর্ণ।

Notification