কি শর্ত সাপেক্ষে $f\left(x\right)=x^4$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত $f:X\to Y$ ফাংশনটি একটি সার্বিক ফাংশন হবে? এখানে R, N ও Z যথাক্রমে বাস্তব সংখ্যা, স্বাাভাবিক সংখ্যা ও ‍পূর্ণ সংখ্যার সেট নির্দেশ করে।

সার্বিক ফাংশন (Onto Function) বা সার্জেক্টিভ ফাংশন হলো এমন একটি ফাংশন, যেখানে রেঞ্জের প্রতিটি মানের জন্য ডোমেনের অন্তত একটি মান থাকে। অর্থাৎ, ফাংশনটির আউটপুট সেট (রেঞ্জ) পুরো কোডোমেন বা লক্ষ সেটটি পূর্ণ করে।

সার্বিক ফাংশনের বৈশিষ্ট্য

১. রেঞ্জ এবং কোডোমেন সমান: সার্বিক ফাংশনের রেঞ্জ এবং কোডোমেন এক এবং অভিন্ন। অর্থাৎ, ফাংশনের প্রতিটি আউটপুট মান কোডোমেনে অন্তর্ভুক্ত থাকবে এবং কোডোমেনের কোনো মান বাদ পড়বে না।

২. ইনভার্স নির্ধারণ: একটি ফাংশন যদি একসঙ্গে এক-এক এবং সার্বিক হয়, তবে তা ইনভার্টেবল হয় এবং এর ইনভার্স ফাংশনও সার্বিক হবে।

উদাহরণ

ধরা যাক, \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) একটি ফাংশন, যেখানে \( f(x) = x^3 \)। এখানে,

• যেকোনো \( y \in \mathbb{R} \)-এর জন্য \( f(x) = y \) সমাধান আছে, যেমন \( x = \sqrt[3]{y} \)।
• অর্থাৎ, প্রতিটি রিয়াল আউটপুট \( y \)-এর জন্য এমন একটি ইনপুট \( x \) আছে, যা \( f(x) = y \) কে সন্তুষ্ট করে।

সুতরাং, এই ফাংশনটি সার্বিক।

সার্বিক ফাংশনের ব্যবহার

সার্বিক ফাংশন গণিত, গাণিতিক বিশ্লেষণ, এবং গাণিতিক মডেলিংয়ে গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটি নিশ্চিত করে যে প্রতিটি আউটপুট বা লক্ষ মানকে ইনপুট মানের মাধ্যমে অর্জন করা সম্ভব।