কোনো ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত 1 : 3 : 1 হলে ত্রিভুজটি —

⚡ শর্ট ট্রিক: ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত $1 : 3 : 1$ হওয়ায় এর প্রথম ও তৃতীয় কোণ দুইটি পরস্পর সমান। যেহেতু ত্রিভুজের সমান সমান কোণের বিপরীত বাহুগুলোও পরস্পর সমান হয়, তাই দুইটি বাহু সমান হওয়ায় ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।

🔎 গাণিতিক ব্যাখ্যা: ধরি, ত্রিভুজটির কোণ তিনটির পরিমাণ যথাক্রমে $x, 3x$ এবং $x$। ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।\[\begin{aligned}x + 3x + x &= 180^\circ\\5x &= 180^\circ\\x &= \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ\end{aligned}\]সুতরাং কোণ তিনটি হলো $36^\circ$, $3 \times 36^\circ = 108^\circ$ এবং $36^\circ$। এখানে দুইটি কোণ সমান ($36^\circ$) এবং একটি স্থূলকোণ ($108^\circ > 90^\circ$)। অতএব, ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু (এবং স্থূলকোণী)।