কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বল ভারসাম্য সৃষ্টি করেছে। তাদের প্রথম ও দ্বিতীয়টির মর্ধ্যবর্তী কোণ $90 °$ এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয়টির মধ্যবর্তী কোণ $120 °$ হলে, বলগুলোর অনুপান কোনটি?

Created: 3 years ago | Updated: 18 hours ago

Updated: 18 hours ago

ক

1:2:3
খ

3:4:1
গ

$\sqrt{2} : 1 : \sqrt{3}$
ঘ

$\sqrt{3} : 1 : 2$

উচ্চতর গণিত বহুবিধ বলের কার্যকারিতা CU D Unit - 2020 KU E Unit - 2014 MBSTU C Unit - 2013

651

ব্যাখ্যাঃ

যখন কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি সমতলীয় বল ভারসাম্য সৃষ্টি করে, তখন ল্যামির উপপাদ্য (Lami's Theorem) প্রয়োগ করা যায়। ল্যামির উপপাদ্য অনুযায়ী, প্রতিটি বল অন্য দুটি বলের মধ্যবর্তী কোণের সাইন-এর (sine) সমানুপাতিক হয়।

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী:

প্রথম বল ($P_1$) এবং দ্বিতীয় বল ($P_2$) এর মধ্যবর্তী কোণ $\alpha_{12} = 90^\circ$।
দ্বিতীয় বল ($P_2$) এবং তৃতীয় বল ($P_3$) এর মধ্যবর্তী কোণ $\alpha_{23} = 120^\circ$।

একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত মোট কোণ $360^\circ$। সুতরাং, তৃতীয় বল ($P_3$) এবং প্রথম বল ($P_1$) এর মধ্যবর্তী কোণ ($\alpha_{31}$) হবে:

$\alpha_{31} = 360^\circ - (\alpha_{12} + \alpha_{23})$

$\alpha_{31} = 360^\circ - (90^\circ + 120^\circ)$

$\alpha_{31} = 360^\circ - 210^\circ$

$\alpha_{31} = 150^\circ$

এখন, ল্যামির উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই:

$\frac{P_1}{\sin(\text{P}_2 \text{ ও } \text{P}_3 \text{ এর মধ্যবর্তী কোণ})} = \frac{P_2}{\sin(\text{P}_3 \text{ ও } \text{P}_1 \text{ এর মধ্যবর্তী কোণ})} = \frac{P_3}{\sin(\text{P}_1 \text{ ও } \text{P}_2 \text{ এর মধ্যবর্তী কোণ})}$

$\frac{P_1}{\sin(120^\circ)} = \frac{P_2}{\sin(150^\circ)} = \frac{P_3}{\sin(90^\circ)}$

সাইন-এর মানগুলো নির্ণয় করি:

$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
$\sin(90^\circ) = 1$

মানগুলো সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$\frac{P_1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{P_2}{\frac{1}{2}} = \frac{P_3}{1}$

বলগুলোর অনুপাত বের করার জন্য, আমরা এই ভগ্নাংশগুলো থেকে হর (denominator) বাদ দিতে পারি। এর জন্য, আমরা সবগুলোকে 2 দিয়ে গুণ করি:

$P_1 : P_2 : P_3 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 : \frac{1}{2} \times 2 : 1 \times 2$

$P_1 : P_2 : P_3 = \sqrt{3} : 1 : 2$

সুতরাং, বলগুলোর অনুপাত $\sqrt{3}:1:2$।

Satt AI

3 months ago

MCQ: 769

Practice

বহুবিধ বলের কার্যকারিতা

বহুবিধ বলের কার্যকারিতা হলো একাধিক বল একত্রিত হয়ে একটি সমষ্টিগত বল তৈরি করার প্রক্রিয়া। যখন বিভিন্ন ধরনের বল একত্রিত হয়ে একটি ফলস্বরূপ বল তৈরি করে, তখন তাকে বহুবিধ বল বলা হয়। এই ফলস্বরূপ বল বস্তুটির গতির পরিবর্তন বা অবস্থান পরিবর্তনে সহায়তা করে।

১. বহুবিধ বলের ধারণা

বহুবিধ বল বা ফলস্বরূপ বল (Resultant Force) হল একাধিক বলের সমষ্টি যা কোনো নির্দিষ্ট সিস্টেমে প্রভাব ফেলে। একাধিক বলের প্রভাবকে একটি একক বলের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়, যার মান এবং দিক সেই সিস্টেমের কার্যকারিতা নির্ধারণ করে।
ভেক্টর গাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে বিভিন্ন বলের সমষ্টি বের করা হয়। ভেক্টর যোগফলের মাধ্যমে আমরা বিভিন্ন বলের গতি এবং দিক বিশ্লেষণ করতে পারি।

২. বহুবিধ বলের যোগফল (Vector Addition)

বিভিন্ন বল একত্রিত হওয়ার পর, তাদের যোগফল নির্ধারণ করতে ভেক্টর যোগফল ব্যবহার করা হয়। ভেক্টর যোগফলে, দুটি বা তার বেশি বলের আকার এবং দিক যোগ করা হয়।
একাধিক বলের যোগফল বের করতে কিছু পদ্ধতি রয়েছে:
- গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি: বলের ভেক্টরগুলি গ্রাফের মাধ্যমে যোগ করা হয়, যেখানে প্রতিটি বলকে একটি ভেক্টর হিসেবে উপস্থাপন করা হয়।
- আলজেব্রিক পদ্ধতি: ভেক্টরের একক উপাদান (অক্স, অক্ষাংশ, ও ভারসাম্য) দিয়ে প্রতিটি বলের প্রভাব যোগ করা হয়।

৩. বহুবিধ বলের প্রভাব

যথার্থ বলের প্রভাব: যখন একাধিক বল কোনো বস্তুতে প্রভাবিত করে, তখন এর ফলে বস্তুটির গতি, অবস্থান বা অবস্থার পরিবর্তন ঘটতে পারে।
ফলস্বরূপ বল (Resultant Force): একাধিক বলের সমষ্টি হল ফলস্বরূপ বল, যা বস্তুটির মোট প্রভাব প্রদর্শন করে।
- যদি সমস্ত বলের ফলস্বরূপ যোগফল শূন্য হয়, তাহলে বস্তুটি স্থির থাকে।
- যদি ফলস্বরূপ বল শূন্য না হয়, তাহলে বস্তুটির গতি বৃদ্ধি বা দিক পরিবর্তন হবে।

৪. বহুবিধ বলের সমীকরণ

বিভিন্ন বলের সমষ্টি বের করতে ভেক্টর সমীকরণ ব্যবহার করা হয়:
\[
\text{ফলস্বরূপ বল (Resultant Force)} = F_1 + F_2 + \dots + F_n
\]
এখানে, $ F_1, F_2, \dots, F_n $ বিভিন্ন বল যা বস্তুতে প্রভাবিত করে।

৫. বহুবিধ বলের ভারসাম্য (Equilibrium of Multiple Forces)

একটি বস্তু ভারসাম্য অবস্থায় থাকবে যখন তার উপরে প্রযোজ্য সকল বলের যোগফল শূন্য হবে। এটি ভারসাম্য শর্ত বলে পরিচিত।
ভারসাম্য শর্ত অনুযায়ী, একাধিক বল যদি একটি বস্তুতে প্রভাবিত করে, তবে তাদের ফলস্বরূপ যোগফল শূন্য হতে হবে।
ভারসাম্য পরীক্ষার জন্য:
\[
\sum F_x = 0 \quad \text{এবং} \quad \sum F_y = 0
\]
অর্থাৎ, সকল অনুভূমিক এবং 수직 বলের যোগফল শূন্য হতে হবে।

৬. বহুবিধ বলের উদাহরণ

দুইটি বলের যোগফল: যদি একটি বল $ 10 , \text{N} $ পূর্ব দিকে এবং অপরটি $ 10 , \text{N} $ পশ্চিম দিকে প্রভাবিত করে, তাদের ফলস্বরূপ বল হবে $ 10 , \text{N} $ পশ্চিম-পূর্ব দিকে।
একাধিক বলের সমষ্টি: যদি ৩টি বল প্রভাবিত করে, একটির মান $ 10 , \text{N} $, দ্বিতীয়টির $ 20 , \text{N} $, এবং তৃতীয়টির $ 15 , \text{N} $, তবে ভেক্টর যোগফল প্রয়োগ করে একটি সমষ্টিগত ফলস্বরূপ বল বের করা হবে।

সারাংশে, বহুবিধ বলের কার্যকারিতা বোঝা প্রয়োজন কেননা একাধিক বলের প্রভাব একটি বস্তুতে ব্যাপক পরিবর্তন ঘটাতে পারে। সঠিকভাবে তাদের যোগফল বের করে, বস্তুটির গতির পরিবর্তন এবং অবস্থানের বিশ্লেষণ করা সম্ভব হয়।

Related Question

View All

5 একক দূরত্বে A ও B বিন্দুতে ক্রিয়ারত 9
এবং 5 একক মানের সমান্তরাল বলদ্বয়-
i. অসদৃশ হলে লব্ধির মান 4 একক
ii. সদৃশ এবং লব্ধি C বিন্দুতে ক্রিয়ারত হলে $B C = \frac{45}{14}$ একক
iii. সদৃশ হলে লব্ধির মান 14 একক
নিচের কোনটি সঠিক?