কোন কলেজের একাদশ বিজ্ঞানের মোট 120 জন ছাত্রের মধ্যে 83 জন গণিত, 90 জন পরিসংখ্যান ও 60 জন গণিত ও পরিসংখ্যান উভয় বিষয়ই নিয়েছে। গণিত অথবা পরিসংখ্যান বিষয় দু’টির কোনটিই নেয়নি এরূপ ছাত্রসংখ্যা কত?

পরস্পর বর্জনশীল (Mutually Exclusive) ও অবর্জনশীল (Non-Mutually Exclusive) ঘটনার জন্য সম্ভাবনার যোগসূত্র হলো পরিসংখ্যান ও সম্ভাবনা তত্ত্বের গুরুত্বপূর্ণ অংশ। এটি বোঝাতে সাহায্য করে যে কীভাবে দুটি বা তার বেশি ঘটনা একে অপরের সাথে সম্পর্কিত এবং তাদের সংঘটিত হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করা যায়।

১. পরস্পর বর্জনশীল (Mutually Exclusive) ঘটনা

যদি দুটি বা তার বেশি ঘটনা পরস্পর বর্জনশীল হয়, তবে তাদের একসাথে ঘটার সম্ভাবনা শূন্য (0)। অর্থাৎ, এক ঘটনাটি ঘটে গেলে অন্যটি ঘটতে পারে না।

যোগসূত্র:

পরস্পর বর্জনশীল ঘটনাগুলোর জন্য যোগ নিয়ম (Addition Rule) ব্যবহার করা হয়, যেটি সহজভাবে বলা যায়:

\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B)
\]

এখানে:

• \(P(A)\) হলো \(A\) ঘটনার সম্ভাবনা,
• \(P(B)\) হলো \(B\) ঘটনার সম্ভাবনা,
• \(P(A \cup B)\) হলো \(A\) অথবা \(B\) ঘটার সম্ভাবনা।

উদাহরণ:

ধরা যাক, একটি ডাইসে ৩ অথবা ৪ আসার সম্ভাবনা জানতে চাওয়া হচ্ছে। এখানে, \(A\) ঘটনার অর্থ "৩ আসা" এবং \(B\) ঘটনার অর্থ "৪ আসা"। যেহেতু একে অপরের সাথে পরস্পর বর্জনশীল, তাদের একসাথে ঘটার সম্ভাবনা শূন্য হবে। সুতরাং, তাদের যোগফল হবে:

\[
P(A \cup B) = P(3 \text{ আসা}) + P(4 \text{ আসা}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]

২. অবর্জনশীল (Non-Mutually Exclusive) ঘটনা

যখন দুটি ঘটনা একে অপরের সাথে অবর্জনশীল হয়, তখন তাদের একসাথে ঘটার সম্ভাবনা শূন্য নয়। অর্থাৎ, এই ধরনের ঘটনা একসাথে ঘটতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি দুটি ঘটনা \( A \) এবং \( B \) হতে পারে, তবে একে অপরের সাথে একযোগে ঘটতে পারে, এবং তাদের একসাথে ঘটার সম্ভাবনা হিসাব করতে হবে।

যোগসূত্র:

অবর্জনশীল ঘটনাগুলোর জন্য যোগ নিয়ম (Addition Rule) হবে:

\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
\]

এখানে:

• \(P(A)\) হলো \(A\) ঘটনার সম্ভাবনা,
• \(P(B)\) হলো \(B\) ঘটনার সম্ভাবনা,
• \(P(A \cup B)\) হলো \(A\) অথবা \(B\) ঘটার সম্ভাবনা,
• \(P(A \cap B)\) হলো \(A\) এবং \(B\) একসাথে ঘটার সম্ভাবনা।

উদাহরণ:

ধরা যাক, একটি ডাইসে ৩ অথবা ৪ আসার সম্ভাবনা আবারো জানা হচ্ছে। এখানে, \(A\) ঘটনার অর্থ "৩ আসা" এবং \(B\) ঘটনার অর্থ "৪ আসা"। সুতরাং, তাদের একসাথে আসার সম্ভাবনা নেই, কারণ ডাইসে একবারে ৩ এবং ৪ একসাথে আসতে পারে না। তাই, \( P(A \cap B) = 0 \)।

তাহলে,

\[
P(A \cup B) = P(3 \text{ আসা}) + P(4 \text{ আসা}) - P(3 \text{ এবং } 4 \text{ আসা}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - 0 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]

উপসংহার

• পরস্পর বর্জনশীল (Mutually Exclusive) ঘটনা এর জন্য যোগসূত্র হলো \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \), কারণ তাদের একসাথে ঘটার সম্ভাবনা শূন্য।
• অবর্জনশীল (Non-Mutually Exclusive) ঘটনা এর জন্য যোগসূত্র হলো \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \), কারণ তাদের একসাথে ঘটার সম্ভাবনা শূন্য নয় এবং তা হিসাব করতে হয়।