চিত্রের 'ক' সংখ্যক প্যাটার্নের বীজগাণিতিক রাশিটি কোনটি? 

চিত্রে দেখানো প্যাটার্নটি একটি সমান্তর ধারা (arithmetic progression) অনুসরণ করে। প্রতিটি ধাপে ম্যাচের কাঠির সংখ্যা নির্ণয় করে আমরা প্যাটার্নটি বিশ্লেষণ করতে পারি:

    
• প্রথম চিত্রে (ক=1) ম্যাচের কাঠি আছে: ৪টি
    
• দ্বিতীয় চিত্রে (ক=2) ম্যাচের কাঠি আছে: ৭টি
    
• তৃতীয় চিত্রে (ক=3) ম্যাচের কাঠি আছে: ১০টি
    
• চতুর্থ চিত্রে (ক=4) ম্যাচের কাঠি আছে: ১৩টি

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, প্রতিটি ধাপের সাথে ম্যাচের কাঠির সংখ্যা ৩ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে। অর্থাৎ, প্যাটার্নটির সাধারণ অন্তর (common difference) হলো ৩।

যেকোনো সমান্তর ধারার 'ক'তম পদ নির্ণয়ের সূত্র হলো: \(a_ক = a_1 + (ক-1)d\)

যেখানে,

    
• \(a_ক\) হলো 'ক'তম পদ বা কাঠি সংখ্যা
    
• \(a_1\) হলো প্রথম পদ বা প্রথম চিত্রে কাঠি সংখ্যা = ৪
    
• \(ক\) হলো চিত্রের ক্রমিক নম্বর
    
• \(d\) হলো সাধারণ অন্তর = ৩

এখন, এই মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:

\(a_ক = 4 + (ক-1)3\)

\(a_ক = 4 + 3ক - 3\)

\(a_ক = 3ক + 1\)

সুতরাং, চিত্রের 'ক' সংখ্যক প্যাটার্নের বীজগাণিতিক রাশিটি হলো \(3ক + 1\)।

আমরা অপশনগুলো ব্যবহার করে প্যাটার্নটি যাচাই করতে পারি। আমরা জানি, প্রথম চিত্রে (ক=1) ৪টি কাঠি আছে। আমরা প্রতিটি অপশনে ক=1 বসিয়ে দেখব কোনটি সঠিক ফলাফল দেয়:

    
• ১. \(3ক + 1\) = \(3 \times 1 + 1\) = \(3 + 1\) = ৪ (সঠিক)
    
• ২. \(5ক + 1\) = \(5 \times 1 + 1\) = \(5 + 1\) = ৬ (ভুল)
    
• ৩. \(6ক + 1\) = \(6 \times 1 + 1\) = \(6 + 1\) = ৭ (ভুল)
    
• ৪. \(7ক + 1\) = \(7 \times 1 + 1\) = \(7 + 1\) = ৮ (ভুল)

শুধুমাত্র প্রথম অপশনটি \(3ক + 1\) প্রথম চিত্রে (ক=1) ৪টি কাঠি নির্দেশ করে। দ্বিতীয় চিত্রের জন্য (ক=2) যাচাই করলে পাই: \(3 \times 2 + 1\) = \(6 + 1\) = ৭, যা দ্বিতীয় চিত্রের সাথে মিলে যায়। তাই, \(3ক + 1\) হলো সঠিক বীজগাণিতিক রাশি।