২৫ তম চিত্র পর্যন্ত ব্যবহৃত কাঠির সংখ্যা কত হবে? 

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত চিত্রগুলো থেকে কাঠির সংখ্যার একটি ধারা তৈরি হয়েছে। আমরা প্রতিটি চিত্রে ব্যবহৃত কাঠির সংখ্যা গণনা করে ধারাটি বের করব।

    
• ১ম চিত্র (n=1):         
              
  • একটি রম্বসের জন্য ৪টি কাঠি।
              
  • রম্বসের মাঝ বরাবর অনুভূমিকভাবে ১টি কাঠি।
              
  • ডানদিকে বাইরের দিকে প্রসারিত ২টি কাঠি।
          
          মোট কাঠি = \(৪ + ১ + ২ = ৭\)টি।     
    
• ২য় চিত্র (n=2):         
              
  • এখানে ২টি রম্বস আছে। প্রতিটি রম্বসের জন্য ৫টি করে কাঠি ধরা হলে (\(৪\)টি বাহু ও \(১\)টি অনুভূমিক)।
              
  • ডানদিকে বাইরের দিকে প্রসারিত ২টি কাঠি।
          
          যদি প্রতিটি রম্বস আলাদাভাবে ৫টি কাঠি দিয়ে গঠিত হয় (৪টি বাহু + ১টি অনুভূমিক কাঠি) এবং ২টি অতিরিক্ত কাঠি শেষে থাকে, তবে ২য় চিত্রে কাঠি সংখ্যা হবে: \(২ \times ৫ + ২ = ১২\)টি।     
    
• ৩য় চিত্র (n=3):         
              
  • এখানে ৩টি রম্বস আছে। একইভাবে, প্রতিটি রম্বসের জন্য ৫টি কাঠি।
              
  • ডানদিকে বাইরের দিকে প্রসারিত ২টি কাঠি।
          
          মোট কাঠি = \(৩ \times ৫ + ২ = ১৭\)টি।     

সুতরাং, চিত্রগুলোতে ব্যবহৃত কাঠির সংখ্যার ধারাটি হলো: \(৭, ১২, ১৭, \dots\)।

এটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression) যেখানে প্রথম পদ \(a_1 = ৭\) এবং সাধারণ অন্তর \(d = ১২ - ৭ = ৫\)।

প্রশ্নটিতে "২৫ তম চিত্র পর্যন্ত ব্যবহৃত কাঠির সংখ্যা" জানতে চাওয়া হয়েছে, যার অর্থ ১ম চিত্র থেকে ২৫তম চিত্র পর্যন্ত মোট কাঠির সংখ্যা অর্থাৎ ধারার প্রথম ২৫টি পদের সমষ্টি (\(S_{25}\)) নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে, ২৫তম চিত্রের কাঠির সংখ্যা (\(a_{25}\)) নির্ণয় করি। সমান্তর ধারার \(n\)তম পদের সূত্র হলো: \(a_n = a_1 + (n-1)d\)।

\(a_{25} = ৭ + (২৫ - ১) \times ৫\)

\(a_{25} = ৭ + ২৪ \times ৫\)

\(a_{25} = ৭ + ১২০\)

\(a_{25} = ১২৭\)

এখন, ধারার প্রথম ২৫টি পদের সমষ্টি (\(S_{25}\)) নির্ণয় করি। সমান্তর ধারার প্রথম \(n\)টি পদের সমষ্টির সূত্র হলো: \(S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)\)।

\(S_{25} = \frac{২৫}{২} (৭ + ১২৭)\)

\(S_{25} = \frac{২৫}{২} (১৩৪)\)

\(S_{25} = ২৫ \times ৬৭\)

\(S_{25} = ১৬৭৫\)

সুতরাং, ২৫ তম চিত্র পর্যন্ত ব্যবহৃত কাঠির সংখ্যা হবে ১৬৭৫টি।