তিনটি বল p, $\sqrt{3p}$, p সাম্যবস্থায় থাকলে প্রথম দুইটি বলের মধ্যবর্তী কোণ-

বিস্তারিত সমাধান:

যখন তিনটি বল সাম্যাবস্থায় থাকে, তখন যেকোনো দুইটি বলের লব্ধি (Resultant) তৃতীয় বলের মানের সমান এবং বিপরীতমুখী হয়।

ধরি, প্রদত্ত তিনটি বল হলো \(F_1 = p\), \(F_2 = \sqrt{3}p\) এবং \(F_3 = p\)।

ধরি, প্রথম দুইটি বল \(F_1\) ও \(F_2\)-এর মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)। এই দুইটি বলের লব্ধির মান \(R\) নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

\[R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1 F_2 \cos\alpha}\]

সাম্যাবস্থার শর্তানুসারে, এই লব্ধি \(R\) অবশ্যই তৃতীয় বল \(F_3\)-এর মানের সমান হবে, অর্থাৎ \(R = F_3\)।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

\[F_3 = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1 F_2 \cos\alpha}\]

প্রদত্ত মানগুলো বসিয়ে পাই:

\[p = \sqrt{p^2 + (\sqrt{3}p)^2 + 2(p)(\sqrt{3}p)\cos\alpha}\]

উভয়পাশে বর্গ করে পাই:

\[p^2 = p^2 + (\sqrt{3})^2 p^2 + 2\sqrt{3}p^2\cos\alpha\]

\[p^2 = p^2 + 3p^2 + 2\sqrt{3}p^2\cos\alpha\]

\[p^2 = 4p^2 + 2\sqrt{3}p^2\cos\alpha\]

এখন, সমীকরণটি পুনর্বিন্যাস করে \(\cos\alpha\)-এর মান বের করব:

\[p^2 - 4p^2 = 2\sqrt{3}p^2\cos\alpha\]

\[-3p^2 = 2\sqrt{3}p^2\cos\alpha\]

উভয়পক্ষকে \(2\sqrt{3}p^2\) দ্বারা ভাগ করে (যেহেতু \(p \neq 0\)):

\[\cos\alpha = \frac{-3p^2}{2\sqrt{3}p^2}\]

\[\cos\alpha = \frac{-3}{2\sqrt{3}}\]

হরকে মূলদ করার জন্য লব ও হরকে \(\sqrt{3}\) দ্বারা গুণ করে পাই:

\[\cos\alpha = \frac{-3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}\]

\[\cos\alpha = \frac{-3\sqrt{3}}{2\cdot3}\]

\[\cos\alpha = \frac{-\sqrt{3}}{2}\]

আমরা জানি যে, \(\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)।

অতএব,

\[\alpha = 150^\circ\]

সুতরাং, প্রথম দুইটি বলের মধ্যবর্তী কোণ \(150^\circ\)।