ত্রিভুজের একটি বাহু ৭ সে.মি. এবং অপর বাহু ৪ সে.মি. হলে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য কত সে.মি. হতে পারে?

একটি ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর এবং যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের পার্থক্য তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হয়। এটি ত্রিভুজ অসমতা উপপাদ্য (Triangle Inequality Theorem) নামে পরিচিত।

ধরি, ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য \(a\), \(b\) এবং \(c\)।

প্রশ্ন অনুযায়ী, ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য হলো \(a = ৭\) সে.মি. এবং \(b = ৪\) সে.মি.। তৃতীয় বাহুটিকে \(c\) ধরি।

ত্রিভুজ অসমতা উপপাদ্য অনুযায়ী:

    
• দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বড় হবে:
    

\(a + b > c\)

    

\(৭ + ৪ > c\)

    

\(১১ > c\)

    

অর্থাৎ, \(c < ১১\)

    
• দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের পার্থক্য তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ছোট হবে:
    

\(|a - b| < c\)

    

\(|৭ - ৪| < c\)

    

\(৩ < c\)

এই দুটি শর্ত একত্রিত করলে আমরা পাই:

\(৩ < c < ১১\)

অর্থাৎ, তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য ৩ সে.মি. এর চেয়ে বেশি এবং ১১ সে.মি. এর চেয়ে কম হতে হবে।

এখন আমরা প্রদত্ত অপশনগুলো যাচাই করি:

    
• অপশন ১: ২ সে.মি.। এটি \(৩ < c\) শর্ত পূরণ করে না। (\(২ \ngtr ৩\))
    
• অপশন ২: ৩ সে.মি.। এটি \(৩ < c\) শর্ত পূরণ করে না। (\(৩ \ngtr ৩\))
    
• অপশন ৩: ৪ সে.মি.। এটি \(৩ < c < ১১\) শর্ত পূরণ করে। (\(৩ < ৪ < ১১\))
    
• অপশন ৪: ১১ সে.মি.। এটি \(c < ১১\) শর্ত পূরণ করে না। (\(১১ \nless ১১\))
    
• অপশন ৫: ১২ সে.মি.। এটি \(c < ১১\) শর্ত পূরণ করে না। (\(১২ \nless ১১\))

অতএব, একমাত্র ৪ সে.মি. দৈর্ঘ্যটি তৃতীয় বাহু হতে পারে।