দুটি নিরপেক্ষ রেখা একটি বিন্দুতে Cross (ছেদ) করলে কোন Assumption violate হয়?

অর্থনীতিতে নিরপেক্ষ রেখা (Indifference Curve) হলো এমন একটি রেখা, যার প্রতিটি বিন্দু দুটি পণ্যের (বা সেবার) এমন বিভিন্ন সংমিশ্রণ নির্দেশ করে যা একজন ভোক্তা বা ক্রেতার কাছে একই পরিমাণ সন্তুষ্টি বা উপযোগ (utility) প্রদান করে। অর্থাৎ, নিরপেক্ষ রেখার যেকোনো বিন্দুতে ভোক্তা নিরপেক্ষ থাকেন, কারণ প্রতিটি সংমিশ্রণ থেকে তিনি সমান উপযোগ পান।

নিরপেক্ষ রেখার অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হলো, দুটি নিরপেক্ষ রেখা কখনোই একে অপরকে ছেদ বা Cross করে না। যদি দুটি নিরপেক্ষ রেখা একটি বিন্দুতে ছেদ করে, তবে তা ভোক্তার পছন্দের ধারাবাহিকতার (consistency of preferences) মৌলিক অনুমান, যাকে সংক্রমণশীলতা বা Transitivity অনুমান বলা হয়, তাকে লঙ্ঘন করে।

বিষয়টি একটি উদাহরণের মাধ্যমে দেখা যেতে পারে:

    
• ধরা যাক, \(IC_1\) এবং \(IC_2\) দুটি নিরপেক্ষ রেখা 'A' বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    
• \(IC_1\) রেখার উপর 'B' আরেকটি বিন্দু এবং \(IC_2\) রেখার উপর 'C' আরেকটি বিন্দু।
    
• নিরপেক্ষ রেখার সংজ্ঞা অনুযায়ী, \(IC_1\) রেখার উপর যেহেতু A ও B উভয় বিন্দু রয়েছে, তাই A বিন্দুতে প্রাপ্ত উপযোগ B বিন্দুতে প্রাপ্ত উপযোগের সমান (A ~ B)।
    
• একইভাবে, \(IC_2\) রেখার উপর যেহেতু A ও C উভয় বিন্দু রয়েছে, তাই A বিন্দুতে প্রাপ্ত উপযোগ C বিন্দুতে প্রাপ্ত উপযোগের সমান (A ~ C)।
    
• এখন, সংক্রমণশীলতা (Transitivity) অনুমানের মতে, যদি A ~ B এবং A ~ C হয়, তাহলে B ~ C (অর্থাৎ, B বিন্দুতে প্রাপ্ত উপযোগ C বিন্দুতে প্রাপ্ত উপযোগের সমান) হওয়া উচিত।
    
• তবে, চিত্রে দেখা যায় যে, সাধারণত 'C' বিন্দুটি 'B' বিন্দুর চেয়ে বেশি পরিমাণে পণ্য ধারণ করে (যদি নিরপেক্ষ মানচিত্রের সাধারণ বৈশিষ্ট্য বজায় থাকে)। এক্ষেত্রে, যদি 'বেশি মানেই ভালো' (Monotonicity) অনুমানটি সত্যি হয়, তাহলে ভোক্তা 'C' বিন্দুকে 'B' বিন্দুর চেয়ে বেশি পছন্দ করবেন (C > B)।
    
• এই পরিস্থিতিতে, B ~ C এবং C > B একইসাথে সত্যি হতে পারে না। এই স্ববিরোধিতা প্রমাণ করে যে দুটি নিরপেক্ষ রেখা একে অপরকে ছেদ করতে পারে না। যদি তারা ছেদ করে, তাহলে তা সংক্রমণশীলতা (Transitivity) অনুমানকে লঙ্ঘন করে।

অন্যান্য অনুমানের ব্যাখ্যা:

    
• Reflexivity (প্রতিফলনশীলতা): এই অনুমান অনুযায়ী, প্রতিটি বান্ডিল তার নিজের চেয়ে অন্তত সমান ভালো বা তার নিজের প্রতি উদাসীন (A ≥ A)। এটি একটি মৌলিক যৌক্তিক অনুমান এবং নিরপেক্ষ রেখা ছেদ করলে এটি সরাসরি লঙ্ঘিত হয় না।
    
• Monotonicity (একঘেয়েমি): এই অনুমান অনুযায়ী, একজন ভোক্তা পণ্যের "বেশি পরিমাণ" "কম পরিমাণের" চেয়ে পছন্দ করেন (অর্থাৎ, বেশি মানেই ভালো)। এটি যদিও পরোক্ষভাবে ছেদ করার কারণ সৃষ্টিকারী স্ববিরোধিতায় জড়িত, তবে সরাসরি লঙ্ঘিত হওয়া অনুমানটি হলো Transitivity।
    
• Completeness (সম্পূর্ণতা): এই অনুমান অনুযায়ী, একজন ভোক্তা যেকোনো দুটি বান্ডিলের মধ্যে তুলনা করতে সক্ষম হন এবং বলতে পারেন কোনটি অন্যটির চেয়ে ভালো, খারাপ বা তাদের প্রতি তিনি উদাসীন। নিরপেক্ষ রেখা ছেদ করলে এই অনুমান লঙ্ঘিত হয় না।

অতএব, দুটি নিরপেক্ষ রেখা একটি বিন্দুতে Cross (ছেদ) করলে Transitivity অনুমানটি লঙ্ঘিত হয়।