ধারার অসীমতক সমষ্টি কত?

প্রদত্ত ধারাটি হলো:

\(3 - \frac{3}{2} + \frac{3}{5^2} - \frac{3}{5^3} + \dots\)

ধারাটির পদগুলো হলো:

    
• প্রথম পদ (\(t_1\)) = \(3\)
    
• দ্বিতীয় পদ (\(t_2\)) = \(-\frac{3}{2}\)
    
• তৃতীয় পদ (\(t_3\)) = \(\frac{3}{5^2} = \frac{3}{25}\)
    
• চতুর্থ পদ (\(t_4\)) = \(-\frac{3}{5^3} = -\frac{3}{125}\)

একটি গুণোত্তর ধারার ক্ষেত্রে, যেকোনো পদের সাথে তার পূর্ববর্তী পদের অনুপাত (সাধারণ অনুপাত) সর্বদা সমান হয়। আমরা প্রদত্ত ধারার পদগুলোর অনুপাত পরীক্ষা করি:

প্রথম ও দ্বিতীয় পদের অনুপাত \(r_1 = \frac{t_2}{t_1} = \frac{-3/2}{3} = -\frac{3}{2} \times \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}\)

দ্বিতীয় ও তৃতীয় পদের অনুপাত \(r_2 = \frac{t_3}{t_2} = \frac{3/25}{-3/2} = \frac{3}{25} \times \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{2}{25}\)

তৃতীয় ও চতুর্থ পদের অনুপাত \(r_3 = \frac{t_4}{t_3} = \frac{-3/125}{3/25} = -\frac{3}{125} \times \frac{25}{3} = -\frac{1}{5}\)

যেহেতু \(r_1 \neq r_2 \neq r_3\) (অর্থাৎ, \(-\frac{1}{2} \neq -\frac{2}{25} \neq -\frac{1}{5}\)), এটি একটি গুণোত্তর ধারা নয়।

একটি গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র হলো \(S_{\infty} = \frac{a}{1-r}\), যেখানে \(a\) হলো ধারার প্রথম পদ এবং \(r\) হলো সাধারণ অনুপাত। এই সূত্রটি শুধুমাত্র তখনই প্রযোজ্য যখন সাধারণ অনুপাতের পরম মান \(|r| < 1\) হয়।

যেহেতু প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা নয় (সাধারণ অনুপাত স্থির নয়), তাই এর অসীমতক সমষ্টি নির্ণয়ের জন্য গুণোত্তর ধারার সূত্রটি সরাসরি ব্যবহার করা যাবে না।

প্রদত্ত তথ্য ও শর্ত অনুযায়ী, ধারাটি গুণোত্তর না হওয়ায় এর অসীমতক সমষ্টি উপরের সূত্র ব্যবহার করে নির্ণয় করা সম্ভব নয় এবং প্রশ্নোক্ত অপশনগুলোর সাথে কোনো সঙ্গতিপূর্ণ সমাধান পাওয়া যাচ্ছে না। সম্ভবত প্রশ্নপত্রে ধারাটির দ্বিতীয় পদে মুদ্রণজনিত ত্রুটি রয়েছে। যদি ধারাটি \(3 - \frac{3}{5} + \frac{3}{5^2} - \frac{3}{5^3} + \dots\) হতো (অর্থাৎ, দ্বিতীয় পদটি \(-\frac{3}{5}\) হতো), তবে এটি একটি গুণোত্তর ধারা হতো যার প্রথম পদ \(a = 3\) এবং সাধারণ অনুপাত \(r = -\frac{1}{5}\)। সেক্ষেত্রে অসীমতক সমষ্টি হতো \(\frac{3}{1 - (-\frac{1}{5})} = \frac{3}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{3}{\frac{6}{5}} = 3 \times \frac{5}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}\), যা প্রদত্ত অপশন ৩ এর সাথে মিলে যায়।

কিন্তু প্রদত্ত উদ্দীপক অনুযায়ী, এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।