নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ?

ভগ্নাংশগুলো তুলনা করে ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশটি বের করার জন্য, আমরা প্রত্যেকটি ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করে তুলনা করতে পারি অথবা একটি সাধারণ হর (common denominator) ব্যবহার করতে পারি। যেহেতু এখানে হরগুলো ভিন্ন এবং এদের ল.সা.গু (LCM) বের করা কিছুটা সময়সাপেক্ষ, আমরা দশমিকে রূপান্তর পদ্ধতি অনুসরণ করব।

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো হলো:

    
1. \(\frac{৪}{৫}\)
    
2. \(\frac{৯}{১০}\)
    
3. \(\frac{১১}{১২}\)
    
4. \(\frac{১৩}{১৫}\)

এখন, প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করি:

    
• \(\frac{৪}{৫} = ৪ \div ৫ = ০.৮\)
    
• \(\frac{৯}{১০} = ৯ \div ১০ = ০.৯\)
    
• \(\frac{১১}{১২} = ১১ \div ১২ \approx ০.৯১৬৬...\) (দশমিকের পর ৪ ঘর পর্যন্ত)
    
• \(\frac{১৩}{১৫} = ১৩ \div ১৫ \approx ০.৮৬৬৬...\) (দশমিকের পর ৪ ঘর পর্যন্ত)

দশমিক মানগুলো তুলনা করে পাই:

    
• \(০.৮\)
    
• \(০.৯\)
    
• \(০.৯১৬৬\)
    
• \(০.৮৬৬৬\)

এই মানগুলোর মধ্যে \(০.৮\) হলো সবচেয়ে ছোট।

অতএব, \(\frac{৪}{৫}\) হলো প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম।

ভগ্নাংশগুলো তুলনা করার জন্য আরেকটি দ্রুত পদ্ধতি হলো ক্রস-গুণন (cross-multiplication)। দুটি ভগ্নাংশ \(\frac{a}{b}\) এবং \(\frac{c}{d}\) এর মধ্যে ছোটটি বের করতে \(ad\) এবং \(bc\) এর গুণফল তুলনা করা যায়।

যদি \(ad < bc\) হয়, তাহলে \(\frac{a}{b}\) হলো ছোট ভগ্নাংশ।

আমরা প্রথম ভগ্নাংশ \(\frac{৪}{৫}\) এর সাথে বাকিগুলোকে তুলনা করি:

    
1. \(\frac{৪}{৫}\) বনাম \(\frac{৯}{১০}\):
           বামপাশের ভগ্নাংশের লব ও ডানপাশের ভগ্নাংশের হর গুণন: \(৪ \times ১০ = ৪০\)
           ডানপাশের ভগ্নাংশের লব ও বামপাশের ভগ্নাংশের হর গুণন: \(৯ \times ৫ = ৪৫\)
           যেহেতু \(৪০ < ৪৫\), তাই \(\frac{৪}{৫} < \frac{৯}{১০}\)। (\(\frac{৯}{১০}\) ক্ষুদ্রতম নয়, বাদ)
    
2. \(\frac{৪}{৫}\) বনাম \(\frac{১১}{১২}\):
           বামপাশের ভগ্নাংশের লব ও ডানপাশের ভগ্নাংশের হর গুণন: \(৪ \times ১২ = ৪৮\)
           ডানপাশের ভগ্নাংশের লব ও বামপাশের ভগ্নাংশের হর গুণন: \(১১ \times ৫ = ৫৫\)
           যেহেতু \(৪৮ < ৫৫\), তাই \(\frac{৪}{৫} < \frac{১১}{১২}\)। (\(\frac{১১}{১২}\) ক্ষুদ্রতম নয়, বাদ)
    
3. \(\frac{৪}{৫}\) বনাম \(\frac{১৩}{১৫}\):
           বামপাশের ভগ্নাংশের লব ও ডানপাশের ভগ্নাংশের হর গুণন: \(৪ \times ১৫ = ৬০\)
           ডানপাশের ভগ্নাংশের লব ও বামপাশের ভগ্নাংশের হর গুণন: \(১৩ \times ৫ = ৬৫\)
           যেহেতু \(৬০ < ৬৫\), তাই \(\frac{৪}{৫} < \frac{১৩}{১৫}\)। (\(\frac{১৩}{১৫}\) ক্ষুদ্রতম নয়, বাদ)

সবগুলোর সাথে তুলনা করে দেখা যায় যে, \(\frac{৪}{৫}\) হলো ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ।