পরপর ১০টি সংখ্যার প্রথম ৫টি সংখ্যার যোগফল ৫৬০ হলে শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল কত?

Created: 4 years ago | Updated: 4 months ago

Updated: 4 months ago

ক

৫৮৫
খ

৫৮০
গ

৫৭৫
ঘ

কোনটিই নয়

343

ব্যাখ্যাঃ

বিস্তারিত সমাধান:

ধরি, পরপর ১০টি সংখ্যা হলো:

$x, x+1, x+2, x+3, x+4, x+5, x+6, x+7, x+8, x+9$

প্রথম ৫টি সংখ্যা হলো: $x, x+1, x+2, x+3, x+4$

প্রথম ৫টি সংখ্যার যোগফল = $x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4)$

$ = 5x + (1+2+3+4) $

$ = 5x + 10 $

প্রশ্নমতে, প্রথম ৫টি সংখ্যার যোগফল ৫৬০।

সুতরাং, $5x + 10 = 560$

$5x = 560 - 10$

$5x = 550$

$x = \frac{550}{5}$

$x = 110$

এখন, শেষ ৫টি সংখ্যা হলো: $x+5, x+6, x+7, x+8, x+9$

শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল = $ (x+5) + (x+6) + (x+7) + (x+8) + (x+9) $

$ = 5x + (5+6+7+8+9) $

$ = 5x + 35 $

$x = 110$ এর মান বসিয়ে পাই:

$ = 5(110) + 35 $

$ = 550 + 35 $

$ = 585 $

সুতরাং, শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল হলো 585।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

ধরি, পরপর ১০টি সংখ্যার প্রথম ৫টি সংখ্যার যোগফল হলো $S_1$ এবং শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল হলো $S_2$।

প্রথম ৫টি সংখ্যা যদি $a, a+1, a+2, a+3, a+4$ হয়, তবে তাদের যোগফল $S_1 = 5a + 10$।

শেষ ৫টি সংখ্যা হলো $a+5, a+6, a+7, a+8, a+9$।

এই শেষ ৫টি সংখ্যাকে প্রথম ৫টি সংখ্যার সাথে তুলনা করলে দেখা যায় যে প্রতিটি সংখ্যা প্রথম সেটের অনুরূপ সংখ্যার চেয়ে ৫ বেশি। যেমন:

$(a+5) = a + 5$
$(a+6) = (a+1) + 5$
$(a+7) = (a+2) + 5$
$(a+8) = (a+3) + 5$
$(a+9) = (a+4) + 5$

সুতরাং, শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল, প্রথম ৫টি সংখ্যার যোগফল অপেক্ষা $(5 \times 5)$ বেশি হবে।

অর্থাৎ, $S_2 = S_1 + (5 \times 5)$

$S_2 = S_1 + 25$

দেওয়া আছে, প্রথম ৫টি সংখ্যার যোগফল $S_1 = 560$

অতএব, $S_2 = 560 + 25$

$S_2 = 585$

Satt AI

2 months ago

MCQ: 438 CQ: 51

Practice

সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

কোনো ধারার যেকোনো পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য সব সময় সমান হলে, সেই ধারাটিকে সমান্তর ধারা বলে।

উদাহরণ ১. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 একটি ধারা। এই ধারাটির প্রথম পদ 1, দ্বিতীয় পদ 3, তৃতীয় পদ 5 ইত্যাদি।

এখানে, দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ = 3 – 1 = 2,

তৃতীয় পদ দ্বিতীয় পদ = 5 – 3 – 2, চতুর্থ পদ তৃতীয় পদ = 7 – 5 = 2,

পঞ্চম পদ চতুর্থ পদ = 9 – 7 = 5, ষষ্ঠ পদ পঞ্চম পদ = 11-9=2

সুতরাং, ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

এই ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে সাধারণ অন্তর বলা হয়। উল্লেখিত ধারার সাধারণ অন্তর 2। ধারাটির পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট। এ জন্য এটি একটি সসীম বা সান্ত ধারা (Finite Series)। উল্লেখ্য, সমান্তর ধারার পদসংখ্যা নির্দিষ্ট না হলে একে অসীম বা অনন্ত ধারা (Infinite Series) বলে। যেমন, 1 + 4 + 7 + 10 + . . . একটি অসীম ধারা। সমান্তর ধারায় সাধারণত প্রথম পদকে a দ্বারা এবং সাধারণ অন্তরকে d দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তাহলে সংজ্ঞানুসারে, প্রথম পদ a হলে, দ্বিতীয় পদ a + d, তৃতীয় পদ a + 2d ইত্যাদি। সুতরাং, ধারাটি হবে, a + (a +d) + (a + 2d) + . . . ।

সমান্তর ধারার সাধারণ পদ নির্ণয়

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d। তাহলে ধারাটির

প্রথম পদ = a = a + (1 – 1)d

দ্বিতীয় পদ = a + d = a + (2 – 1)d

তৃতীয় পদ = a + 2d = a + (3 – 1)d

চতুর্থ পদ = a + 3d = a + (4 – 1) d

. . . . . .

$∴$ n তম পদ = a + (n - 1) d

এই n তম পদকেই সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বলা হয়। কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d জানা থাকলে n তম পদে n 1, 2, 3, 4, . . . বসিয়ে পর্যায়ক্রমে ধারাটির প্রত্যেকটি পদ = নির্ণয় করা যায়।

মনে করি, একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং সাধারণ অন্তর 2। অতএব, ধারাটির n তম পদ = 3 + (n – 1) × 2 = 2n + 1 ।

উদাহরণ ২. 5 + 8 + 11 + 14 + . . . ধারাটির কোন পদ 383 ?

সমাধান : ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3

$∴$ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 383

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n – 1)d

$∴$ প্রদত্ত ধারার 127 তম পদ = 383 I

সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n এবং ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_{n}$ ।

ধারাটিকে প্রথম পদ হতে শেষ পদ এবং বিপরীতক্রমে শেষ পদ হতে প্রথম পদ লিখে পাওয়া যায়,

কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p এবং পদ সংখ্যা n জানা থাকলে, (3) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়। কিন্তু প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n জানা থাকলে, (4) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়।

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি $S_{n}$