পৃথিবীর ভর M এবং ব্যাসার্ধ R হলে, h উচ্চতায় কৃত্রিম উপগ্রহের কক্ষীয় বেগ-

ধরি,

    
• পৃথিবীর ভর = \(M\)
    
• পৃথিবীর ব্যাসার্ধ = \(R\)
    
• কৃত্রিম উপগ্রহের উচ্চতা = \(h\)
    
• মহাকর্ষীয় ধ্রুবক = \(G\)
    
• কৃত্রিম উপগ্রহের ভর = \(m\) (যদিও এটি শেষ পর্যন্ত সমীকরণ থেকে বাদ হয়ে যায়)
    
• কৃত্রিম উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ = \(r = R + h\)
    
• কক্ষীয় বেগ = \(v_o\)

বিস্তারিত সমাধান:

১. মহাকর্ষ বল (Gravitational Force): নিউটনের মহাকর্ষ সূত্রানুসারে, পৃথিবী এবং উপগ্রহের মধ্যে ক্রিয়াশীল মহাকর্ষ বল,

\[ F_g = \frac{GMm}{r^2} \]

যেখানে \(r = R + h\), সুতরাং,

\[ F_g = \frac{GMm}{(R+h)^2} \]

২. কেন্দ্রমুখী বল (Centripetal Force): উপগ্রহটি \(r\) ব্যাসার্ধের কক্ষপথে \(v_o\) বেগে ঘুরতে থাকলে তার উপর একটি কেন্দ্রমুখী বল কাজ করে,

\[ F_c = \frac{mv_o^2}{r} \]

যেখানে \(r = R + h\), সুতরাং,

\[ F_c = \frac{mv_o^2}{R+h} \]

৩. বলদ্বয়ের সমতা: উপগ্রহটি স্থিতিশীলভাবে কক্ষপথে থাকার জন্য এই মহাকর্ষ বলই প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল যোগান দেয়। সুতরাং, \(F_g = F_c\)

\[ \frac{GMm}{(R+h)^2} = \frac{mv_o^2}{R+h} \]

৪. \(v_o\) এর জন্য সমাধান:

উভয় পক্ষ থেকে \(m\) এবং \((R+h)\) একটি করে পদ বাদ দিয়ে পাই,

\[ \frac{GM}{R+h} = v_o^2 \]

সুতরাং, কক্ষীয় বেগ,

\[ v_o = \sqrt{\frac{GM}{R+h}} \]

এই সূত্রটি থেকে দেখা যাচ্ছে, কৃত্রিম উপগ্রহের কক্ষীয় বেগ উপগ্রহের ভরের উপর নির্ভরশীল নয়, বরং এটি পৃথিবীর ভর, মহাকর্ষীয় ধ্রুবক এবং কক্ষপথের ব্যাসার্ধের (পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে উপগ্রহের দূরত্ব) উপর নির্ভরশীল।